摘要

我们研究了两种不同结构下的周期性驱动量子点。在第一个装置中，量子点与拓扑超导体和普通金属引线耦合。在第二种设置中，一个t形量子点连接到两个拓扑超导体上，并侧面耦合到普通金属引线上。通过结合非平衡格林函数技术和Floquet的形式化，我们得到了准能谱作为振幅、频率和超导相位差的函数。我们证明了这些状态会产生独特的电子响应，例如在考虑马约拉纳束缚态的非局域性时出现的破缺粒子-空穴对称性。最后，我们计算了时间平均电流和差分电导，通过物理可测量的幅度来揭示这些光谱特征。

1 介绍

超导性由于其与量子计算的相关性，近年来引起了人们的广泛关注[1,2,3]。在超导杂化结的微观描述中，描述载流子动力学的机制之一是Andreev反射。多次Andreev反射的出现导致Andreev束缚态(ABS)的出现，也被称为Yu-Shiba-Rusinov态[4,5,6,7]。ABS可以在多终端Josephson结中显示拓扑状态，超越十倍方式分类，并应用于量子位[8,9,10]。除了平凡的超导性外，拓扑超导性也是人们感兴趣的。具体来说，Majorana束缚态(MBS)[11,12]代表了实现量子比特的另一种选择，因为它们显示具有拓扑保护的非阿贝尔统计，因此具有抗退相干的鲁棒性[13,14,15]。具有拓扑超导体的多端Josephson结也在参数空间中观察到拓扑保护节点(由MBS形成的零能量交叉)[16,17,18,19]。然而，在MBS作为量子比特的实验实现被开发之前，实现对这些激发的令人信服的检测是至关重要的。在此背景下，拓扑超导研究面临着MBS和ABS在实验中的特征非常相似的事实。更好地理解MBS的理论努力包括对零偏电导峰值的分析或对干涉测量的详细分析[20,21,22,23]。从实验方面来看，寻求非马约拉纳态的近量子化电导和实施间隙协议是突出的[24,25]。

纳米结构中周期性驱动的微扰提供了子隙态动力学的信息，为Floquet工程[26,27]开辟了道路，并引入了一系列现象，如时空晶体[28,29]、Floquet拓扑绝缘体[30]、Floquet手性[31]和异常Floquet手性拓扑超导体[32]。如此多种不同的现象涉及到周期性驱动下的对称性研究，如旋转、宇称、粒子空穴、手性和时间反转[33,34,35]。此外，它们还带来了诸如对称保护暗态、对称保护暗带和对称诱导透明度等选择规则[36,37]。

当混合系统量子点拓扑超导体中的量子点(QD)受到时间周期驱动时，它提供了一种令人兴奋的区分ABS和MBS的方法，该方法包括在高频下产生MBS的双重交换[38]。然而，准粒子态值得更多的关注，特别是在mbs的非局域性和与ABS的可区分性下[39,40]。因此，出现了一些问题:马约拉纳非定域性效应如何在Floquet光谱中表现出来?零能量模式在驾驶下是否稳健?ABS和MBS在驾驶情况下的表现是否相似?

对周期驱动量子点的N-QD-S、S-QD-S、S-QD-QD-S和S-QD-S- qd - s等系统的研究显示了平凡超导的准粒子态行为[41,42,43,44,45]，但在考虑拓扑超导性方面仍存在疑问。这里，N和S分别指普通金属和常规超导体。遵循前面提到的工作中使用的类似方法和技术，在这里，我们研究了TS-QD- n(这里，TS代表拓扑超导体)和t形结构中的准粒子光谱，时间平均电流和微分电导，其中量子点连接两个拓扑超导体和正常金属)。

本文组织如下。在第2节中，我们介绍了模型、Floquet-Green函数形式和时间平均电流。第3节显示了图1中所示器件A和B的准粒子光谱与驱动振幅和频率、时间平均电流和差分电导之间的数值结果。在第4节中，我们总结了结果并简要讨论了可能的未来工作。

2 低能模型与方法

2.1 模型哈密顿

在这项工作中，我们研究了两种不同的设置。第一个，在下文中称为器件A(见图1a)，由一个量子点耦合到一个普通金属引线和一个拓扑超导体组成，由其拓扑相中的基塔耶夫链描述。第二个装置，下文称为器件B(见图1b)，由一个量子点耦合到两个拓扑超导体和一个普通金属引线形成。在这两种情况下，电子哈密顿量都可以用下面的形式来表示

（1)

时间相关的微扰进入由

(2）

周期振荡被认为是。量子点中电子的产生和湮灭算符分别为和d。在这里，我们假设系统受到一个足够强的磁场，使得塞曼分裂比其他能量尺度大。因此，我们可以只处理一个自旋方向，并将量子点视为无自旋。这样，我们就忽略了系统中的类近藤效应[46]以及量子点中拓扑超导体与两个自旋通道的同时耦合[47]。

a周期性驱动的量子点耦合到接地拓扑超导体和正常金属的示意图，称为器件a, b周期性驱动的量子点呈t形结构。量子点位于两个接地的拓扑超导体之间，并与一个普通金属引线(称为Devide b)侧耦合。拓扑超导体顶部的红色形状代表MBS

正常金属铅的哈密顿量为

（3）

式中，为动量为k的电子的能量，为金属铅的化学势。是金属铅的产生和湮灭算符。拓扑相的基塔耶夫哈密顿量和马约拉纳表示表示为

（4）

指数标记了两个拓扑超导体。马约拉纳算子和满足反换子，表示为电子和空穴的相等叠加，即和。因此，狄拉克费米子表示中的低能有效哈密顿量为

（5）

式中，L为纳米线长度和超导相干长度[48](参见参考文献;[49,50]用Rashba强度、Zeeman分裂和超导体参数来明确表达马约拉纳重叠)。我们认为两个mbs的重叠能是实数，这意味着mbs在同一纳米线中相互作用或不相互作用(或不相互作用)。普通金属引线与两根纳米线耦合对应的哈密顿量的后三项有如下表达式

（6）

在不失去一般性的前提下，我们选择实数。量子点和拓扑超导体之间的耦合用下面的哈密顿量来描述

（7）

其中是mbs与QD的耦合。对于单个拓扑超导体，耦合项消失，对于两个拓扑超导体，所有的哈密顿项保留。注意，这个耦合哈密顿量提供了MBS的非局域效应[39,40,51,52,53]，对应于纳米线之间的超导相位差——对于单个纳米线的计算，我们省略了相位差。

2.2 Floquet-Green的功能

Floquet的形式是一种处理时间周期系统的方法，其哈密顿量满足，为外部驱动的周期[54,55]。由于我们的兴趣是对输运性质(电流和微分电导)的评估，因此该程序将Floquet方法与Green函数技术相结合[42,43,44,56]。在这里，我们使用Nambu对格林函数的表示作为一种方便的形式来用无自旋传播子来表示系统中的点上配对

（8）

我们实现了运动方程法，将格林函数写成一组微分方程，并在Keldysh等值线上以积分形式表示。这个过程产生

(9a) (9b) (9c)

式中，分别为量子点、普通金属引线和拓扑超导体裸格林函数，分别为金属引线和拓扑超导体的隧穿矩阵，为泡利矩阵的z分量。最后，正常引线和拓扑超导体的反常格林函数为和，其运动方程为(9b)和(9c)。这些格林的函数在南部的表示中是

（10）

其中索引。结合方程式。(9a)、(9b)、(9c)，得到

(11)

自能表示为

（12）

在哪里

（13）

与

(14)

下一步是利用Wigner变换(Wigner表示与Floquet表示有一一对应关系)将两次格林函数和自能转换为Floquet表示。[55]

(15)

哪里有能量。变换是可能的，因为格林函数在两个时间内都具有扰动的周期性。因此，Eq.(11)给出了在Floquet和Nambu的表示中耦合到电极的QD的Green函数，结果为

(16)

裸露量子点的格林函数的形式是

（17）

上标r(a)表示弱智(高级)格林函数，为第一类贝塞尔函数。同样，我们可以将普通金属引线和拓扑超导体的自能表示为

（18）

带耦合常数，2 × 2单位矩阵，并在宽带近似的假设下工作

（19）

注意，通过移动与的极点，我们得到了迟钝的和先进的格林函数。正常金属引线Eq.(18)的自能在Nambu空间和Floquet空间中呈对角线，而拓扑超导体Eq.(19)的自能在Nambu空间中呈非对角线，在Floquet空间中呈对角线。我们在这些计算中考虑零偏置的约瑟夫森结，但拓扑超导体之间存在超导相位差。

2.3 态密度

第一种器件由拓扑超导体和金属引线之间的量子点组成。第二个由两个拓扑超导体之间的量子点组成，同时与金属铅耦合。在下面，我们给出了两个装置的光谱。此外，格林函数的计算允许通过态密度观察周期性驱动量子点的光谱

(20)

下标(11)表示格林函数在Nambu表示中的第一个元素，上标r表示弱智格林函数。由于振幅A和频率是表征QD中驱动的参数，我们将频谱作为它们的函数进行研究。

2.4 时间平均电流

传输特性，如平均时间电流和差分电导可以检测到所有的光谱特征。这里，我们描述了计算平均电流的解析计算。测量普通金属铅的化学势，定义为。一个简单的计算得到了这个表达式。

(21）

与。利用朗格雷斯规则，计算随时间变化的电流如下

（22）

在Floquet的表示中取周期T的平均值，得到

（23）

痕迹穿过了弗洛特和南布家的空间。较小的格林函数和自能为

(24)

与

（25)

和

(26)

其中是引线的费米分布函数。在所有数值计算中，我们取零温度下电流的零阶分量。

目录

摘要 1 介绍 2 低能模型与方法 3.数值结果 4 总结 数据可用性声明 参考文献 致谢 作者信息 搜索 导航 #####

3.数值结果

3.1 设备一

3.1.1 幅频Floquet谱

对于器件A(见图1a)，我们去掉自能方程(19)中的超导相位差和下标。图2显示了由式(20)计算的状态平均密度。在这里，谱是由准粒子能量与振幅(振幅谱)的关系得到的，截断了在。在图2a中，单个MBS穿过量子点，这意味着和。零谐波分量保持与振幅无关，并存在于高谐波中，随着振幅的增加而增加和减少分量。对于较小的振幅值(大约如谱中所示)，准粒子显示交叉能量态，而对于较大的振幅值()，准粒子显示避免能量交叉。图2b显示了与量子点态杂交的两个mbs的光谱，但它们在纳米线中没有重叠，这意味着从物理上讲，这种构型可以对应于拓扑超导体的环状结构[57]。在这种情况下，零能量的状态分裂成两个远离零能量的粒子-空穴对称状态，并且与之前的情况完全相同，分裂在高次谐波中复制。图2c，两个mbs与QD态杂交，两者通过纳米线相互作用，即，和。周围的两个分支在它们的重量上显示出明显的差异，mbs的耦合配置打破了粒子-洞对称性。图2d，单个MBS与QD态杂交，并在纳米线中显示出MBS的重叠。在这里，与振幅无关的零能态出现并在高次谐波中复制，但图(a)和图(b)中显示的准粒子能态的分裂结构消失了。

在装置A中获得了马约拉纳与量子点杂交的四种可能类型的振幅谱。参数为和

在装置A中得到了四种可能的马约拉纳与量子点杂交的频谱。参数为和

图3显示了状态的平均密度(20)。在这里，我们绘制了与驱动频率(频谱)相关的准能量。对于这些光谱,我们修复的振幅值,与普通金属耦合设置和耦合配置的MBS的QD同振幅谱图2所示(一个MBS与QD杂化状态,两个MBS与QD杂化状态但是没有重叠,两个QD的MBS杂化状态和重叠,和一个MMS QD的杂化状态重叠,策划,分别在面板(a)、(b)、(c)和(d))。在这里，图(a)和图(b)显示了低频时的能量分支振荡，在高频极限下，所有频谱权集中在三个(图(a)中两个等距状态和一个零能量状态)和四个(图(b)中)。在图(a)中，零能量状态与频率无关。在高阶谐波中，状态分为三个分支，中间与频率线性相关。在图(b)中，两个Majoranas杂化QD产生了两个在零能量周围具有对称权重的分支(粒子-空穴对称)。图(c)显示了能量态的非对称权重，即粒子-空穴对称性被打破，在接近零的频率极限处没有分支振荡。最后，在图(d)中出现了与频率无关的零能量状态，在低频极限内没有能量分支振荡。关于量子点中mbs的非局域效应，参见[40,51]和量子环中的耦合[53]。此外，我们可以将本节的结果与最近的一项研究进行比较，该研究考虑了类似的设置，但使用了微不足道的而不是拓扑超导性[41]，参见第3.1.3节。

3.1.2 子间隙时间-平均电流和差动co电感(器件A)

在拓扑超导体接地的情况下，我们计算了具有失谐化学势的金属引线中器件A的亚隙电流。我们使用第3节中使用的相同参数来计算本节中的电流。

图4显示了平均电流(左面板)和差分电导(右面板)，其中蓝色和红色线条分别对应于振幅的电流和差分电导，并对系统施加负偏置。电流中的每个平台对应于能量状态的饱和，这意味着每个步骤对应于准粒子能量状态的存在，而微分电导中的峰值与图2中幅度谱的状态相吻合。由于我们处于低能量极限并且考虑无自旋超导性，我们只期望微分电导中阶的贡献。因此，在零振幅()和量子点与金属铅强耦合的极限下，我们恢复了纳米线与量子点耦合的已知结果[46,58]。

器件A在两个幅值为负偏置的情况下，得到时间平均电流(A) - (d)(每一面板分别与图2中的频谱相对应)和差分电导(e) - (h)

3.1.3 带BCS超导体的器件A的设置

为了进行比较，我们在这里重点再现了[41]中报道的一些结果。请注意，在Nambu符号中的Green函数与Eq.(8)不同。原因在于，对于BCS超导体，我们考虑两个自旋的自由度，而对于p波，我们有完全极化的自旋。因此，格林的函数在南布的表示中写为

(27)

求得状态平均密度的表达式与式(20)相同。在图5中，图(a)显示了固定振幅为的平均振幅谱(准粒子能量与驱动振幅之比)，图(b)显示了固定振幅为的频谱(准粒子能量与驱动频率之比)。图(c)显示了两个不同幅值的平均电流(蓝线为幅值，红线为幅值)，其步长与图(a)的能量状态一致，最后，图(d)显示了相同两个幅值的平均差分电导。注意，这里的微分电导单位对应于一个库珀对和两个自旋自由度的考虑。

我们取自能中的无限间隙极限()，利用Eq.(18)重现图5中的数据。表示BCS超导体在无限隙极限下的自能是非对角线的，表示为

(28)

其中是与超导引线的耦合以及泡利矩阵的x分量。自能方程(19)和自能方程(28)之间的区别在于，前者依赖于Floquet谐波，而后者独立于另一个特征，即对于BCS超导，我们对所有自由度进行积分，而在MBSs有效耦合的情况下，我们不这样做。

在正常金属和超导导线之间的驱动量子点的振幅和频谱图(a)和(b)。平均电流和差分电导面板(c)和(d)。每个面板使用的参数为:(a)， (b)，面板(b)的情况下，以及所有面板

3.2 设备B

设备B是实现MBS融合的最基本结构[59,60,61]，但这些考虑超出了这项工作。在这里，我们想要了解亚间隙准粒子的动力学，并观察其与ABS的区别，因此我们将重点研究该器件的Floquet谱特征和输运性质。设备B的示意图如图1b所示，MBS的耦合配置如图6所示，其中每个面板对应于用于计算光谱、电流和差分电导的单一类型的耦合配置。在分析振幅和频率谱之前，观察Andreev谱是很重要的，Andreev谱是与超导相位差相关的准粒子能量。与设备A类似，我们将在设备B的设置下执行计算，但考虑BCS超导性。

MBS与设备b中QD可能耦合的示意图。我们将这些参数用于所有的光谱和电流数据，图7、8、9、10和11的面板与图7、8、9、10和11的耦合顺序相同

态平均密度的Andreev谱。我们确定了驱动的振幅。图(e)、(g)和(h)显示了粒子-空穴对称性的破坏。每个面板中的频谱与图6面板中勾画的配置一致

3.2.1之上Andreev-Floquet光谱

为了更清楚地观察Andreev谱中状态的行为，我们选择了前两个Floquet谐波来绘制振幅，在这个振幅处，只有较低的谐波发展。我们可以观察到状态的夹板是超导相位差的函数——明确地说，对于我们固定的所有数值结果，相位差分别与左右拓扑超导体的相位有关。

图7显示了图6所示的每种耦合配置的Andreev谱。从面板开始，这些面板对应于外部和内部MBS在纳米线中不相互重叠的配置，这意味着。注意没有形成零能态。在图(a)中，在图(d)中，每隔一段时间只有零能量交叉态，而在零阶谐波形式附近的态避免了交叉点，这是由于mbs杂化了QD态的相互作用。面板，和(e)对应于内部和外部mbs重叠的耦合配置。在这里，零阶谐波的频谱显示了与相位无关的状态。最后，在图(e)、(g)和(h)中，外部和内部MBS与QD态的杂化以及MBS重叠存在，正负谐波态的权值是不对称的。这种情况类似于设备A在图2和图3的面板(c)中显示的情况。这是在Floquet-Andreev谱中观测到的破缺粒子-空穴对称的特征。因此，图(e)、(g)和(h)显示了破缺的粒子-空穴对称性，非常臭名昭著——接下来，我们在这个相位差值下工作，在这里我们发现设备A和B最显著的差异。

3.2.2 幅频Floquet谱

对于任意值的超导相位差，设备B在振幅和频谱上表现出与设备A相似的行为(每个谐波的状态分裂为两个，并且在振幅和频率上发展相似)，除了超导相位差也是一个更臭名昭着的粒子-空穴对称性的破坏点。因此，我们研究了特定相位值的幅值和频谱。

图8显示了图6中描述的耦合的振幅谱。这些谱的显著方面是，在大多数情况下，不存在零能量状态，而是每个谐波的两个分支增益和减重，振幅处于相位差，这是每个谐波中没有观察到零能量状态的原因。因此，只有两个分支的准粒子能量分裂，观察到低振幅的交叉准粒子能量状态，并避免在图(a)、(d)和(f)中看到的大振幅的能量交叉。图(c)显示了每个谐波中两个分支结构的破坏(让我们记住这个频谱)。图(b)和(e)为一根纳米线无限长，而另一根纳米线有限长的耦合配置，即。这些光谱显示了面板(a)类光谱和面板(c)类光谱之间的重叠，在(e)中观察到粒子-空穴对称性的轻微破坏。面板(e)、(g)和(h)是粒子-空穴对称断裂的特殊情况，最著名的是(g)和(h)。

图9显示了图6所示的每种耦合配置的频谱。与图8所示类似，图(a)、(d)和(f)并没有显示出它们之间的显著差异——共同特征是纳米线中Majoranas结合态之间的杂化为零()。面板(b)， (c)和(e)都存在与频率无关的零能量状态，因为它也与振幅和超导相位差无关，因此是一种鲁棒状态。令人惊讶的是，这种状态在粒子-空穴对称破裂的情况下仍然存在，就像图(e)的情况一样，它对所有谐波都是复制的。同样，图(g)和图(h)中的光谱显示粒子-空穴对称性被破坏，但零能态完全消失。因此，在量子点中多个相互重叠的mbs会产生粒子空穴破碎谱。最后要强调的是，当两个拓扑超导体具有有限长度时，低频极限下振荡的破坏(图(c)， (g)和(h)显示了这一事实)。

设备B的振幅谱，以及所有图。每个面板对应于图6所示的联轴器配置

设备B的频谱为，和

3.2.3 子间隙时间-平均电流和差动co器件B的电感

与前面的场景类似，我们计算了具有化学势的金属铅中器件B的子间隙电流。将两个拓扑超导体接地产生。超导相位差是时间的函数。因此，当我们考虑接地拓扑超导体时，它们之间的电压降消失，超导相位差成为与时间无关的参数。图10显示了两个超导相位差值下设备B中的电流，分别用蓝色和绿色曲线表示，施加负偏置()。具体而言，在图(g)中，正偏置()曲线分别用青色虚线和浅绿色曲线表示，分别为超导相位差值和。我们可以注意到负偏置和正偏置曲线的不匹配，这表明粒子-空穴对称性的破坏——让我们回忆一下，振幅值为，来自每个面板的电流分别对应于图6中描述的耦合配置。

微分电导可以检测准粒子的能态及其分裂，并提供了每个谐波谱权分布的测量方法。因此，我们可以用电流的数据来计算差分电导。图11显示了图10所示电流的差分电导，其中面板(b)、(d)和(h)中一个臭名昭著的特征是在谐波附近开始的两个状态的分裂，由绿线表示。这种状态的分裂在振幅谱和电流中很难注意到，但在差分电导率中可以很好地观察到——参见图7中的面板(b)、(d)和(h)。双峰对应于谐波附近状态的避免交叉。这种双峰出现在与奇数个mbs以相位差值(直接或间接)与QD态杂化的耦合构型中——参见图6中的(b)、(d)和(h)。

取多个超导相位差值时，器件B的平均电流(每一面板分别对应，光谱如图8所示)，取负值和正值时考虑偏置

器件B平均差分电导(每个面板分别对应图10中的电流)

3.2.4 器件B具有BCS超导体

计算与两个超导体引线和金属引线耦合的驱动量子点的光谱、电流和微分电导与前面的情况类似。格林函数(27)的虚部提供了状态的密度，前面描述的相同的形式给出了在普通金属铅中测量的电流。唯一改变的方面是自我能量，它在无限的间隙极限中读出。

(29)

作为超导体之间的对称耦合，是铅中的超导相。这里，我们假设一个接地超导体，它们之间的偏置为零。图12显示了振幅谱面板(a)、频谱(b)和Andreev谱(c)。在前两个谱中，我们选择了超导相位差，其中对于这个特定点，在器件b的谱中，每个谐波面板(a)周围的状态没有分裂，对应于拓扑超导体的对称耦合。图(c)为。请注意，正是在光谱上显示交叉状态。图(d)和(e)分别对应两个超导相位差值的平均电流和差分电导，蓝色线和橙色虚线分别表示。电流和差分电导的极小值是由于电子非常迅速地泄漏到超导体中[62]-注意，对于具有拓扑超导体的器件B，情况并非如此。

振幅，频率和Andreev谱驱动量子点连接到两个超导体和正常金属引线。图(a)和(b)为超导相位差，图(b)为振幅，图(c)为。图(d)和(e)是固定振幅的平均电流和差分电导。在面板(b)中使用，在其余面板中使用

4 总结

我们研究了MBS存在下周期性驱动量子点的低能模型，该模型描述了两个器件a和b。第一个由耦合到普通金属引线和拓扑超导体的量子点组成。第二种是连接在两个拓扑超导体和侧耦合普通金属引线之间的量子点的t形结构。此外，我们还考虑了两种设备的MBS的非局部性。

装置A显示了准粒子的能量状态，分裂成两个，并在每个Floquet谐波中重复，伴随着一个平坦的能量状态或另外两个状态的内部分裂(这取决于mbs与QD的杂化类型)。谱中的另一个特征是，当两个mbs与量子点态杂化并同时在它们之间相互作用时，会发生粒子-空穴对称的破坏——尽管对于一个非驱动系统来说，粒子-空穴对称的破坏是平等的()，但它破坏了所有Floquet谐波的准粒子态振荡。

对于器件B，两个拓扑超导体的存在使我们能够观察到超导相位差的准粒子态。因此，我们将重点放在观察振幅和频谱上，特别是观察在该值下状态发展的独特行为以及与器件a的差异。在这里，只要我们只将mbs与QD(意思)直接杂化，光谱就不会显示零能量模式。我们还观察到，对于耦合构型(e)(见图6)，即使粒子-空穴对称谱破裂，也存在零能态。这是可能的，因为其中一个拓扑超导体打破了粒子-空穴对称，而另一个仍然保持它。

为了检测破缺粒子-空穴对称性以及准粒子显示的其他特征，我们提出将偏置电压从负值转换为正值，其中，在破缺粒子-空穴对称性条件下，电流曲线之间的不匹配也可以在差分电导中看到。

QD中的库仑相互作用可能会导致态的进一步发展，为了考虑电子-电子相互作用，我们应该放弃我们在工作开始时所做的强塞曼场的考虑，并且我们不能避免近藤问题。另一个有趣的考虑是纳入非厄米哈密顿量来观察abs和mbs之间的差异[63,64]。这些相互作用为揭示时间周期驾驶下系统中ABS和MBS之间的差异提供了相关方法。

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