摘要

我们提出了一项理论研究，使我们能够尝试从具体的角度来构建绘图机器人GGBot在几何学习中的有效性。本文的目的是在Radford的对象化理论(to)和Borba和Villareal的“人与媒介”概念的交叉点上设置活动、符号学、感知和知识的相互交织。这种交叉在四个构建块中得到阐述:(1)对象化的过程和对象化的符号学手段的作用，其中我们指出，像GGBot这样的数字人工制品改变了对象化的符号学手段的拓扑结构;(2)认知是感性的，学习是眼睛驯化的过程，其中感知在理论上是通过与GGBot的相互作用形成的;(3) GGBot和human -with-media，勾勒出新的思维集体及其活动模式;(4)由活动域之间的转换引发的眼驯化。我们理论讨论的每个组成部分都以经验为基础，以四集为基础，涉及小学生使用GGBot学习几何图形。综上所述，我们将重点放在两个基本概念的几何思维展开在领域之间的转移。

用GGBot绘图

我们处理的DT是绘图机器人GGBot，它是原始Papert绘图龟的后代(Baccaglini-Frank et al.， 2020)。GGBot的硬件组件组装了3d打印的电子结构，其中包含一个Arduino控制器，用于激活连接到车轮上的两个电机，以及一个无线通讯器，通过专用通道进行通信。GGBot呈现两个标记持有人，两端各一个，其中一个可以插入一个或两个标记以进行绘制(图1a)。

a GGBot的视图;急!命令列表中，每个都有对应GGBot运动的说明;GGBot底部的细节，标记顶端在轮子中间

正如Baccaglini-Frank等人(2020)所强调的那样，GGBot是一种明确为几何教学和学习而设计的人工制品:GGBot设计的物理特性使我们能够控制最终绘图的几何特性。轮子周围的橡胶圈在一个小区域内接触地面(唤起一个点);绘制标记插入一个方形底座的棱镜中，标记的绘制尖端正好在正方形的中心伸出，在车轮与地面接触点之间的中点接触地面，这也是GGBot在基本“转弯”命令中旋转的枢轴点，引起一个角的顶点(图1c)。

这些特征的设计使人类与GGBot的互动具有多模态的性质，也就是说，它涉及到与动觉活动相关的多个感觉通道。绘图机器人让学生接触到点、距离和角度的几何意义。软件组件可以通过可视化编程语言SNAP实现!，以及一个可以让它运行的互联网浏览器。更准确地说，SNAP!使运行在GGBot上的特定命令可用，例如图1b中列出的10个命令。每个组合的SNAP!命令对应于一系列GGBot移动，如果标记是螺纹的，将生成绘图。

到目前为止，我们已经提供了GGBot绘图机器人作为数字工件的naïve描述，但我们需要更深入地阐述几何图形的绘图行为。事实上，这样的动作有不同的细节，无论是由人的手的运动还是由GGBot的运动(都可能配备一个标记)。

人类手的绘画行为

对于一个人来说，画一个特定的几何实体包括以下步骤:首先，唤起对几何实体的想象感知，建立在这个人以前的经验基础上;然后，它需要用手拿着马克笔;最后，这个人必须通过一系列可能相互关联也可能不相互关联的特征在纸上再现想象中的感知(当一个人在画东西时，她可以很容易地把马克笔从纸上取下来)。

前面的步骤是让记号笔(在人的意志的引导下)在纸上留下痕迹。此外，用人手绘制几何图形并不一定需要语言控制。例如，我们可以在一张纸上画一个正方形，而不需要用“画一个线段，画一个与第一个线段相等垂直的第二线段，画第三线段，这样……”这种绘画行为有助于塑造学生在“传统”纸笔几何中对几何图形的感知。我们可以称其为人类绘画。

由GGBot执行的绘图行为

这听起来很明显，但GGBot没有意志，也没有自主的几何经验。此外，它需要一个人来工作(与人互动也需要互联网连接和SNAP!)这意味着绘画行为的开始步骤是，再次，人类唤起对几何实体的想象感知，建立在她以前的经验。然而，人类需要立即修改他们对几何图形的感知，因为他们必须插入一个SNAP列表!命令，考虑到这些命令将由GGBot作为一个串联的动作序列执行。更准确地说，从几何图形的整体形象开始，他们必须想象开始绘图的第一步，然后必须表达为一个SNAP!命令。在第一步之后，他们需要想象下一步需要做什么，然后将其表达成命令，以此类推，直到(想象的)绘图完成。脚注1最后，可能是在GGBot中插入标记之后，SNAP!代码可以运行。GGBot的每次移动都会让标记在纸上留下痕迹。一旦移动结束(即GGBot停止)，标记将在纸上留下一系列串联的痕迹。我们可以称这个结果为GGBot绘图。

GGBot绘图的创作需要学生在人类绘图经验形成的几何图形感知与GGBot及其数字技术特征交织在一起的活动之间不断地来回运动。与人类绘图情况不同，执行GGBot绘制几何图形需要对绘图动作进行语言控制。例如，画一个正方形的一边，一个SNAP!可以使用“step forward”命令。要画另一条与第一条垂直的边，需要一对命令:旋转90°(对于第一条，旋转是顺时针还是逆时针无关)，再向前一步。要绘制第三条边，需要另一对命令:旋转90°(顺时针或逆时针取决于前一个)，再向前一步，等等。

到目前为止，我们已经提供了关于GGBot作为DT的naïve描述，以及关于绘图行为的一些初步思考，无论是通过人的手的运动还是通过GGBot的运动来完成。一种复杂性已经出现，通过我们在下一节描述的经验例子和下面的理论阐述，我们的目标是解开它。

实证的例子

在本节中，我们描述了涉及四名小学生的四个情节，我们认为这对我们的理论讨论具有象征意义。这些剧集取材于Anna Baccaglini-Frank (Baccaglini-Frank & Mariotti, 2022)执导的三集系列中的一集。每次会议持续一个固定的时间框架(约45分钟)，涉及一个班的三年级学生(8岁)，班主任和研究人员。在这篇文章中，我们专注于三个会话中的第一个会话，它使我们能够检测由GGBot启用的新几何感知的起源。我们考虑了一些视频记录序列，其中学生，老师和研究人员围坐在一张大纸周围，轮流干预小组工作。

在接下来的转录中，我们使用学生的笔名，R代表研究人员，缩写SoR代表参考系统。文字记录不仅包括话语，还包括非语言信息(如手势、手势和绘图)。为了考虑到符号的复杂性并忠实于符号之间的同步性，我们将数据以三列表的形式呈现:一列是手势和非语言符号;第二个是说话;第三个用于标记痕迹分析(见表1)和其他情况下的绘图(在表2和3中，绘图只是为了方便读者，因为学生用手指在纸上描出了图形)。我们也给这些线编号，用相同的数字来表示同时性。

在我们在这篇文章中考虑的会话中，学生被要求执行各种类型的任务。首先，在问题的引导下进行活动，探索GGBot的运动:这类任务就是接下来的第1章所涉及的任务。

第一集:瑟琳娜在探索GGBot时

GGBot执行一系列命令(向前走两步，顺时针转90°，再向前走一步)，学生观察GGBot的运动和标记在纸上留下的痕迹，然后进行分析。接下来的摘录是关于Serena的，它指的是如下的痕迹(图2):

塞蕾娜分析过的纸上的痕迹;b为了方便读者，我们用蓝色圆圈突出了轨迹中两个特定点的位置:第一个点(从底部开始)是由于前两步之间的分离造成的(在表1中第6行与学生对话时，研究人员会将其圈出来);第二个是由于GGBot的旋转，在与学生对话之前，研究人员用四个箭头和一个弧线突出了它

GGBot技术探索结束后，学生们继续结对工作，并被要求使用SNAP!对GGBot的运动进行编码，让它用标记画出特定的图形，首先是一个正方形，然后是一个矩形，然后是字母“V”(从图形到代码的任务)。每一拍!然后将代码投射到墙上，询问类是否正确，以便让GGBot绘制请求的图形。接下来的第二集涉及到方块的代码验证。

第2集:丹尼尔在做数字编码任务

急!其中一组提出的代码被投射到墙上，学生们被要求判断投射的代码是否允许GGBot真正画出一个正方形。正在分析的代码如下图所示(图3)。为了方便读者，我们在图3中回顾了命令的解释(在会议期间没有投影也没有与学生共享)。

第2章中正在分析的命令列表(以及它们的解释)

为了执行代码验证，Daniele用手指在纸上画出了他认为GGBot会画出的图形。

在会议的最后一部分，学生们参与了另一种类型的任务，一个集体任务，他们可以轮流回答。从一个给定的SNAP开始!代码，他们被要求预测GGBot的运动，从而预测标记将在纸上留下的痕迹(代码到图形的任务)。这种类型的任务在第3集和第4集中涉及到，我们也在Del Zozzo和Santi(2022)中分析过。在图4a中，我们展示了SNAP!代码投射在墙上。为了方便读者，在图4b中，我们回顾了命令的解释，并显示了GGBot根据旁边的代码绘制的预期图形(图4b中显示的内容在会话期间没有投影也没有与学生共享)。在表3和表4的转录中，为了克服转录数与SNAP!代码编号，我们用TLi和第i个SNAP!带有SLi的代码行号(相对于图4b)。

提前!命令列表(投影);B要求解释和预期的数字

第三集:安吉拉在代码到图形的任务中

为了完成要求的预测，安吉拉用手指在纸上画出了她认为GGBot会画出的图形。

在同样的活动中，在安吉拉之后几分钟，凡妮莎开始发言。为了完成要求的预测，她用记号笔在纸上画出了她认为GGBot会画出的图形。

第4集:瓦妮莎在代码图任务中

到目前为止，我们已经描述了四个关于四名小学生在他们与GGBot互动的第一天的故事。在下一节中，我们将介绍一些理论构建模块，使我们能够构建和理解GGBot在改变几何理论感知方面的影响。

目录

摘要 用GGBot绘图 实证的例子 学习的理论基石 Humans-with-Media环境 小结:GGBot活动前后几何图形的对象化 有限公司 ncluding讲话 数据可用性 笔记 参考文献 致谢 作者信息 道德声明 搜索 导航 #####

学习的理论基石Humans-with-Media环境

如引言所述，为了描述使用GGBot进行的数学学习和随后的人类与媒体的关系，我们阐述了一个理论讨论，以框架个人与GGBot之间对话所产生的复杂性。

积木1:物化的过程——活动、符号和人工制品、文化

在客观化理论中，学习问题的根源在于个体与其文化之间的辩证法。学习是一种由个人知识和文化知识之间的内在差异推动的运动。事实上，在学习知识的过程中，学生一开始就必须面对一些与自己不同的东西，一个挑战、抗拒、反对自己的另类。学习是一个客观化的过程，它淡化这种差异，使文化知识变得有意义，并将其转化为熟悉的东西，从而允许新的行动、思考、想象和感觉形式。为了缩小个人与文化知识之间的距离，需要学生作为一种特定的人类努力来进行活动。

我们注意到，符号和人工制品是客观化过程的组成部分，被称为客观化的符号学手段:

个人在社会意义制造过程中有意使用的这些对象、工具、语言装置和符号，以实现一种稳定的意识形式，表明他们的意图，并实施他们的行动，以实现他们的活动目标，我称之为对象化的符号学手段。(雷德福，2003年，第41页;斜体原文)

Radford(2008)将对象化的符号学手段的配置作为人工思维的领域。对象化的符号学手段是数学活动的组成部分，并使特定的活动模式成为可能。数学代理嵌入在社会、文化和历史因素所记录的活动领域中，这些因素与物化的符号学手段的特征有关。即使GGBot作为一个整体是一个数字人工制品，它本身也不能被认为是一种客观化的符号学手段。事实上，GGBot是一个复杂的物体，它汇集了理想和物质的特征，如SNAP的标志!记号笔上的图画，以及由台阶和旋转组成的物理运动。在与几何活动中涉及的其他对象化符号学手段的互动中，GGBot暗示了学生在几何学习中使用的符号和人工制品(即人工思维的领域)的拓扑结构的重新配置。事实上，GGBot是一种人工制品，它已经被先验地设计成一种已经嵌入的数学文化，它在活动模式和思维模式中建立了一套约束和潜力。然而，与TO一致的是，当学生与GGBot一起参与活动时，GGBot成为了一个引擎，它调动了一套丰富的对象化符号学手段，动态地相互纠缠，并与活动本身纠缠在一起。

一方面，GGBot被设计成一个多模态的人工制品，激活与感官认知相关的不同感官通道的相互作用，以及人工制品特定的物化符号学手段(SNAP!命令、图纸及其材料特性)。另一方面，它触发使用“熟悉的”符号(如图画、手势、语言的索引使用、自然语言)，学生必须根据其特征进行解释。我们强调，GGBot的引入改变了人工思维领域的拓扑结构，并锻造了行动和思维的形式，如果没有这种DT诉诸于“熟悉的”符号和人工制品，这些形式是不可用的。

第1集(表1中的转录)发生在学生和GGBot互动的最初时刻，它说明了这个想法。该活动与GGBot的使用严格相关，但学生只处理标记在纸上留下的静态绘图。瑟琳娜试图根据GGBot的运动来理解纸上的迹象。她正在协调处理几何图形的两种方式，面对着她试图调和的对符号的两种解释之间的斗争。就GGBot展开的活动而言，画在纸上的几何图形(图2a)是向前走两步，顺时针转弯，再向前走一步的结果。相反，如果图2a所示的是人画，那么这个图形应该是由两条垂直的线段画出来的，第一个线段的长度是第二个线段的两倍。

在分析纸上的痕迹时，在第二行中，瑟琳娜的手指沿着纸上记号笔的痕迹滑动，说:“它已经完成了两步。”在第3-4行中，塞蕾娜用手指指着两步之间的中间点，并有节奏地在同一个地方敲了三下，说:“但是在这里，也在这里，你可以看到，它停止了。”在第7行中，她解释说:“(我看到了)多亏了最按下的点，因为记号笔是静止的。”有节奏的手势和“most pressed point”的措辞让Serena能够以更广泛的意义来把握这个人物，将GGBot的画和人类的画联系起来。

同样的推理也适用于角度，在第9行，塞蕾娜说，“在这里，标记是静止的，”她的手指也指向了机器人90度旋转的中心。我们注意到，从几何角度来看，标记所在的两点仍然具有不同的性质。在分段的情况下，标记仍然是因为机器人停止了。在角度的情况下，标记是静止的，因为它站在机器人旋转的固定点上。在对GGBot的分析中，瑟琳娜发现，当涉及到角度时，“这里的标记也是静止的。”Serena对GGBot产生的绘图的解读，证明了一种特定形式的行动和思维与源于GGBot的人工思维领域的新拓扑交织在一起。

积木2:认知是感性的，学习是感性的被认为是“眼睛的驯化”

如上所述，作为客观化过程的学习结果是与数学文化对象的相遇并将其转化为意识对象。回想一下在引言中提到的扩大了的心灵和意识的概念，与知识的相遇及其转化为意识的对象发生在感性认识的特征中。根据支持TO的辩证唯物主义方法，感官认知概念背后的基本原则是，身体、感官和感觉对象不是先验的实体，而是通过与符号和人工制品的使用纠缠在一起的文化历史活动相互转化的。

在感官认知中，学习是由学生的个人知识和文化知识之间的冲突引发的过程，这一问题将我们引向以下问题:学生如何将他们的感知从关注对象的“自发”形式转变为数学和理论形式?如上所述，感知的变化是眼睛的驯化。眼睛的驯化具有多模态的性质，既包括各种感官通道，也包括丰富的符号和人工制品，这些符号和人工制品与感知转化所涉及的文化历史活动交织在一起(Radford, 2021)。雷德福强调，数学是学生和老师在课堂活动中出现的东西。因此，作为人类活动产生的东西，学校数学可以被视为一种感性现象:它是一个同时是理想的、感性的和物质的实体，它随着活动的展开而出现。

GGBot重构了人工思维领域的拓扑结构，它是产生活动模式的关键人工制品，驯化了对几何知识的客观化。例如，由人手完成的绘图行为和由GGBot完成的绘图行为之间的转变需要几何感知的转变，从对几何图形的视觉和单一感知到更多的感觉运动和离散化感知。这种转变是由以下两者之间的冲突引起的:

• 一种已经在理论上被驯化的眼睛，它把一个几何图形看作是单一的几何图形，从两条半线之间的平面的部分来看，它是分段和角度

• ggbot的出现引入了新的理论视角——它将几何图形视为由步长和旋转构成的东西

学生克服了关注人物的冲突方式，产生了活动模式，使手势和自然语言的协调脱颖而出，有助于驯化眼睛的持续过程。在“经验例子”一节中呈现的情节中，我们可以精确地指出学生们为了解决冲突而改变活动模式的时刻，我们可以描绘出他们驯化眼睛的尝试。例如，情节2(表2中的转录)发生在会话的中间部分。在从数字到代码的任务中，Daniele需要预测SNAP!经过审查的代码允许GGBot移动以画出一个正方形。在这种情况下，纸上没有记号笔的痕迹。在第3行中，在绘制了与GGBot第一步相对应的段之后，Daniele绘制了一个段，说:“它在左边。”

Daniele在这里把角度解释为平面的一部分(用两个连续的线段你得到一个角度作为平面的一部分)。当他应该在旋转后向前迈出一步(第4-5行)时，冲突立即开始了:他首先盯着投影的代码，盯着它2秒钟，然后盯着他放在纸上的手，静止不动，困惑地说，“然后……然后……它向前走了。”在第6行中，他改变了对角度的解释，试图将其新的客观化为旋转(三个连续的运动序列——向前迈进，旋转，向前迈进——忽略平面的部分)与前一个结合起来。事实上，在第6行，他用拇指作为枢轴逆时针旋转他的食指，说，“它确实像那样。”

学生手指的动作看起来很像“turn”SNAP的图标!命令，然而，GGBot的实际运动似乎不能直观地从SNAP!把按钮。因此，Daniele经历了另一场冲突，这是由先前对GGBot行为的观察和旋转SNAP上提供的这种行为的视觉标志引起的!命令。然后，丹尼尔决定重新开始(第8行)，在第9-11行，新的活动模式和随后的眼睛驯化变得明显:他用手指在纸上画着一条线，说“它走了一步”;然后，从第10行到第11行，他的语言发生了变化，从保持手不动的“它在左边”，变成了“它在左边转动”，用他的索引作为枢轴旋转他的手。从那一刻起，他只使用“转动”这个词，将它与他的手的旋转联系起来，并调和了两种方式，即用马克笔和纸来客观化角度，没有GGBot，也有GGBot。丹尼尔克服了将感知到的文化对象转化为意识对象的冲突。我们注意到Daniele对手势和语言的使用与GGBot建立的对象化的符号学手段结构有关。

类似的冲突，但演变方式不同，在第4集中Vanessa的冲突(转录在表4中，行号为TL1，…，TL10)。她面临着一个代码到数字的任务:她需要预测SNAP会产生什么数字!仔细检查代码(图4a，其中代码行，在图4b中，编号为SL1，…，SL8)。为了完成要求的预测，她用记号笔在纸上画画。Vanessa开始画一条线，说，“他向前走了一步”(TL3，解释SL1)，接着画第二条垂直的线段，明确地与名词“旋转”(TL4，解释SL2)联系在一起。对于Daniele来说，同样对于Vanessa来说，冲突开始于她应该和marker向前走一步(SL3)的时候:由于之前对旋转的解释，她对该往哪里走感到困惑。

瓦妮莎的困惑是通过她在第二段中摆动标记来突出的，她说“然后另一个，一个……再向前一步，所以旋转……”和“是的，嗯，向前一步”(TL 5-6)。瓦妮莎很困惑，因为她生活在两种方式的冲突中，在这两种方式中，角度的概念与她的感官行为共同出现:角度是两条半线之间的平面的一部分，角度是GGBot的旋转。用标记的手势和上面描述的话语证明了这种冲突;她能够画出连续的片段，但是，当试图将它们与SNAP!命令，她与她正在做的事情不一致。

在TL 7中,凡妮莎是管理的第二旋转SL4:不像丹尼尔,她避免了冲突连接“旋转”这个词与一小部分垂直段(TL 7,在表4短段)中被标记为蓝色,她同步扩展的话说,“旋转后再向前一步”(TL 8)。凡妮莎的使用自然语言总是自信和明确:她用文字扫描想象运动以及由此产生的痕迹。然而，她对自然语言的协调使用和用记号笔绘制的图画(TL 7-8)以一种明显而有趣的方式显示了她对与角度相关的眼睛的驯化，以及她努力消除她以前的注意形式与新的(GGBot的)之间的差异，这种差异是挑战、抵制和反对她的。我们观察到Vanessa很难完全驯化她的感官认知，用GGBot的“眼睛”去“看”角度。

尽管在控制角度方面存在困难，Vanessa还是画出了一幅与带标记的GGBot留下的图形一致的人体图形(图4b)。然而，她的感知模式避免了预测任务所需的旋转角度的客观化。在这一集里，尽管有趣地调动了与GGBot领域之外的对象化符号学手段纠缠在一起的新活动形式，凡妮莎对眼睛的驯化并没有产生一种完全成熟的理论模式来感知几何图形，与约束和潜力相一致。这两集表明GGBot的角色随着活动的展开和驯化的完成而发生变化。它获得新的意义，并支持新的数学意义的创造。

到目前为止，讨论描述了学生和GGBot之间互动的一种特殊的复杂性:就好像有两只纠缠在一起的眼睛被驯化了。似乎一种新的“集体”眼睛正在出现，这种眼睛很难驯化。因此，为了应对正确面对这种杂交的需要，我们现在增加了第三个理论构建块，丰富了我们对人类与媒体的讨论。

积木3:GGBot和human -with- media

根据数字和非数字技术形成的数学感知、代理和认知观点，人类与媒体的构建及其作为技术-数学流畅性的实现(Jacinto & Carreira, 2017)使我们能够分析学生参与和转变为新的信息技术“参与者”(Borba & Villareal, 2005)。

我们采用Borba和Villareal的人类与技术的概念来分析几何的学习作为眼睛的驯化，当我们考虑到，在我们的背景下，两个集体:人类与纸和标记(footnote 3)和人类与纸和标记(ggbot)属于两个不同的领域，源于他们的人工思维领域的拓扑结构。人类的纸和标记是起点:它是产生知识的集体，就GGBot的经验而言，代表了关注几何图形的“自发”形式。人类与纸和标记和GGBot是一个新的集体，它触发了新的思维和感知模式，通过GGBot凝聚的文化知识来驯化对几何物化的眼睛。

根据以上GGBot的描述，我们分享了一些关于绘图行为的初步思考，区分它是由人的手的运动还是由GGBot的运动来完成的。我们称前者为人迹绘图，后者为GGBot绘图。“人与媒介”的概念让我们可以更好地构建这样一个关键问题:人类的绘画痕迹对应于集体人类用纸和标记的绘画行为，而GGBot的绘画痕迹对应于集体人类用纸和标记器和GGBot的绘画行为。然而，回顾Borba和Villareal在引言中的引用，在写作和口头上，在我们的语境中，GGBot的引入有前后之分。将眼睛(和其他感官)驯化为理论器官的过程与相互交织的思维集体有关。一旦引入新的思维集体“纸笔人”和“ggbot”，感知和知识的转换就扩大了“纸笔人”集体的活动模式。

之前对Daniele和Vanessa的分析表明，新的集体人类——纸、马克笔和ggbot——让这两个学生遇到了一种新的角度感知，即旋转。现在让我们考虑第三集中Angela的情况(转录见表3，行号为TL1，…，TL10)。Angela用手指正确描摹了图形的前三段(TL 1 - 4，相对于图4b，对应Angela对SLs 1到5的解释)。当到达SL6(顺时针旋转90°)时，她无法正确处理旋转中的方向变化(SL2和SL4中的前两个是逆时针的)。这个学生经历了丹尼尔和凡妮莎在旋转角度的新物化之间同样的挣扎。

此外，学生还经历了关于不同参照系协调的冲突。自我中心的参考系统与人类绘图的生产有关，非中心的参考系统与GGBot绘图的生产有关(由语言SNAP的需要所迫!)表达式)。她将旋转方向的变化解释为沿着同一段(TL 5)的反向方向。在7SL处，Angela用手指追踪垂直段(TL 6)。然后，最后一个命令使她更加困惑，她用手指来回移动(TL 8-9)。在她的活动中，安吉拉只使用手势和SNAP!命令。她能够在她想象的感知中注意到GGBot与人物的前三个部分相关的相应运动。然而，当第三次旋转时，她的感知无法把握人物的角度，因为这将通过GGBot的运动来传达。

动作的协调和“啪!”图标需要根据GGBot的步进和旋转来关注图形的角度，而不是由两条半线(即图形的两边)划分的平面部分。此外，它需要一种想象感知的转变，能够考虑到自我中心(Angela的)和非中心(GGBot的)参考系统之间的联系，而这种联系并没有出现在铅笔和纸的使用中。她的感知并没有包含旋转中方向的改变，这既是由于GGBot旋转时遇到图形角度的新方式，也是由于自我中心和非中心的参照系之间的冲突。

沿着人物侧面来回的手势(TL 8-9)和结构化自然语言的整体缺失是她模糊感知的象征，也是她在驯化眼睛以改变她对角度的感知与她之前意识到的角度的斗争。尽管如此，安吉拉的故事向我们展示了新的活动模式，这是由新的集体人类——用纸、用记号笔、用ggbot——引发的，以及随之而来的对眼睛的驯化，使其成为一种新的、更广泛的理论感知形式，以关注几何图形，这不仅涉及图形的角度，还涉及管理不同的参考系统。安吉拉的插曲强调了两个集体之间的相互作用-产生和冲突-当数字技术出现在数学学习的景观中时，这两个集体在两个纠缠的活动领域和两种驯化眼睛的模式中具体化。

积木4:眼睛的驯化作为活动域之间的过渡

绘图机器人的介绍定义了三个主要的活动领域。第一个领域是在引入GGBot之前，人类使用纸和标记进行绘图行为，其中活动的结果是人类绘图以客观化几何对象。这个领域是指学生在引入GGBot之前对几何图形的客观化。第二个领域是人类使用纸和标记器和GGBot的绘图行为，其中活动的结果是GGBot绘图以客观化几何对象。换句话说，这个领域指的是学生与GGBot的活动，在这些活动中，在纸上的绘图是由GGBot自己直接留下的。

第三个领域是人类的绘画行为——用纸和标记，但在GGBot的活动之后，活动的结果仍然是人类的绘画，但这是GGBot绘画的预测任务，由机器人之前的经验提示。换句话说，这个领域指的是像GGBot绘图一样实现的人类绘图活动。我们注意到，在第三个领域，人类绘画的概念也必须扩大，以考虑手势和/或标记作为物化的符号学手段。在第三个领域，与前两个领域相比，GGBot的作用发生了转变，因为该技术在不存在的情况下影响活动。这种情况证实了L. Radford (personal communication, 2022年9月1日)的说法，“就活动本身而言，它(数字技术)的角色随着活动的展开而变化;它获得新的意义，并支持新的数学意义的创造(就像我们学习时使用的语言一样)。”

我们设想这样的领域，如社会文化空间，其中物化过程是根据其特定的物化手段的符号学拓扑进行的。我们可以想到以下几点:

• 第一个领域与人类的纸和标记集体有关，其中活动和随后的眼睛驯化与“熟悉的”对象化符号手段(如手势、绘画和自然语言)交织在一起

• 第二个领域与人类、纸、标记和GGBot集体有关，其中活动和随后的眼睛驯化与GGBot在动员客观化的符号学手段网络方面的限制和潜力交织在一起

• 第三个领域与GGBot之后的纸张和标记相关，这是第三个集体，其中眼睛的活动和随后的驯化再次与“熟悉的”对象化符号手段交织在一起，例如手势，绘画和自然语言，这些手段回忆了GGBot的约束和潜力

上面介绍的领域，集体，以及随之而来的驯化的眼睛是共同构成的，在接下来的内容中，我们将根据话语的上下文引用这三个术语中的一个。

鉴于这些领域，我们引入了与我们的理论观点一致的过渡概念，并概述了其特征，以及它是如何发生的。在我们的理解中，两者之间的过渡是一种感官认知的转变，就眼睛的驯化而言，这种转变是通过在两个领域之间的转移而发生的。在两者之间的过渡中，学生因此接触到上述三个领域中的两个不同领域——人类用纸和标记，人类用纸和标记和ggbot以及人类用纸和标记在ggbot之后——每个领域都有其活动模式的标志，这些活动模式是由识别这种领域的特定符号学对象化手段塑造的。感官认知的转变是通过几何眼的进一步驯化而发生的，因为学生参与了新领域的活动。

每个领域对象化的符号学手段的不同配置，以学生所不知道的几何对象的方式塑造知觉。从一个领域到另一个领域的转变促使不同形式的活动之间的辩证法进一步推动了眼睛的驯化，以更包容的方式客观化几何图形。当学生的眼睛从一个领域转移到另一个领域时，将GGBot引入几何学习作为一个客观化的过程是真正有效的。当人类在ggbot之后用纸和标记成功地参与了这三个领域之间的过渡时，眼睛的驯化就完全完成了。事实上，学生能够注意到并意识到几何与“眼睛的GGBot”，即使GGBot不再物理存在。因此，他们对几何有了更深入、更有力的理解，否则在GGBot部署的模式中是无法实现的。

管理这三个领域之间的转换对学生来说是一个具有挑战性的目标。在我们展示的情节中，所有的学生都面临着活动领域之间的转换，包括在ggbot之后用纸和标记的人类。在驯化眼睛的过程中，当他们在三个领域，特别是第三个领域之间转换时，他们对承认感知的转变表现出不适。在四个学生中，只有Daniele在第一领域和第三领域之间过渡，完全完成了对眼睛的驯化。他开始根据第一个集体来解释代码，直到他经历了随后的两个冲突。第一个错误(表2中的第4-5行)发生在他不顾旋转而画正方形的第二条边时，并且与SNAP发生冲突!代码。第二个(表2第6-8行)发生在他通过在矩形的第一个边之后画一个弧来解释旋转时。在手势和自然语言的支持下，他驯化了眼睛，克服了这种冲突(表2 10-11行)。从第11行开始，他的绘画和话语与ggbot领域后人类驯化的眼睛一致。

小结:GGBot活动前后几何图形的对象化

在本文中，我们遵循关于DT在数学学习中的有效性的一系列研究，重点关注GGBot对几何的理解和学习的确切影响。我们的目标是构建当GGBot与非数字技术的初始学习进行补充和交互时，理论感知是如何转变的。这一分析是根据一个理论框架进行的，该框架是在媒体与人的交叉中构建的，并由四个组成部分构成:客观化过程;认识是感性的;GGBot和human -with-media;眼睛在活动域之间的转换过程中的驯化。

这四个构建模块的连接构建了一个双重理论框架，该框架描述了GGBot的感知转换是什么以及它是如何发生的。关于第一个方面，to声称感知的转化是数学思维和学习的核心，并允许学生将数学知识作为意识的对象来接触。在感官认知中，感知的转变将个人的感官塑造成能够将数学概念识别为意识对象的文化和历史文物。感官认知概念背后的基本原则是，身体和感官不是生物学上先天的实体，而是通过与符号和人工制品的使用纠缠在一起的文化历史活动相互转化的。

在本研究的背景下，我们考虑了有或没有GGBot的标志配置与随后的人与媒体集体之间的相互作用。关于第二个方面，积木3和积木4告诉我们转换是如何发生的，以及学生最终是如何理解和学习几何的。眼睛的驯化过程是由我们已经确定的两种人类与媒介集体之间的对话推动的，这两种集体是专门针对GGBot的:使用纸和标记的人类和使用纸和标记的人类与GGBot。他们是两个人类集体，由他们的人工思维领域和随之而来的活动模式，即绘制几何图形的方式所锻造。

为了用GGBot完成对眼睛的有效驯化，我们的框架挑出了来自上述两个具有媒体的人类集体的活动域之间转换的概念。事实上，在学习路径中引入GGBot与之前的活动产生了不连续性，并引发了一种涉及三个领域的活动形式:人与纸和标记，人与纸和标记和GGBot以及人与纸和标记在GGBot之后。这三个活动域之间的转换允许GGBot的学习路径，可以完成对眼睛的驯化。

我们的观点是，眼睛的驯化不仅仅是包括GGBot在内的更多符号和人工制品相互交织的结果，也是上述三个领域通过过渡相互交织的结果。从感知的理论转变到学生获得技术-数学流畅性(Jacinto & Carreira, 2017)，并转变为一个新的信息技术“演员”(Borba & Villareal, 2005)，能够像GGBot一样感知、行动和思考，即使它没有物理存在。在GGBot的上下文中，我们概述了触发两者之间转换的三个活动域，但这并不一定是其他dt的一般结果。我们分析的情节表明，我们的理论机制是如何用GGBot来构建眼睛的驯化，从而在理论上将几何图形的角度和参考系统视为数学文化历史知识。

我们根据“纸笔人”、“纸笔人”和ggbot、“纸笔人”和ggbot之后的“纸笔人”的转换过程中的行动形式，来讨论上述四个情节中对象化的几何知识。我们关注几何知识的两个基本原理，它们在不同领域之间的转换中表现为不同的理论感知模式:参考系统和角度概念。

关于参照系，正如Baccaglini-Frank等人(2014)所指出的那样，在区分自我中心和非中心参照系方面存在很大的共识。事实上，在表达GGBot背景下物体的位置时，我们可以参考观察者的视角(自我中心的参照系)，也可以不参考(关于GGBot的非中心参照系)。例如，指示语在空间中的意义(即向前、向后、向左、向右等术语)取决于我们考虑的视角。GGBot的引入将学生在绘画行为中观察者的观点具体化。此外，要进行GGBot绘图，必须使用SNAP!命令。因此，学生对空间的感知需要被驯化，以便处理从学生和GGBot两个参照系中解释的几何关系。

用纸和记号笔为人类绘画和用纸和记号笔和ggbot为人类绘画之间的转变和相互作用打开了一种空间概念的道路，没有先验的特权参考系统或方向，学生将在更高的学校水平上客观化。我们注意到，在那个SNAP中，自我中心和非中心的参照系之间存在对称性!命令必须被解释为GGBot的自我中心和学生的非中心。当我们参考学生的参考系统时，相反的关系成立。

关于角度的概念，在用纸和记号笔为人类绘画时，角度被认为是两个后续部分/半线之间的平面部分。在活动方面，角度从两个运动中出现，用标记画分段/半线，并将角度视为平面的后续部分。同样的活动可以用尺子和/或量角器来丰富，以使绘制精确和精确的测量(例如度)。

在用纸和马克笔和机器人为人类作画时，一个角度以静态和动态的方式出现。严格来说，角度被认为是机器人围绕连接地面上车轮接触点的(想象的)部分的中点旋转(参见前面的章节GGBot绘图)。然而，GGBot通过三个动作来回忆与人类绘画绑定的角度:一步，旋转，再一步。事实上，这三种运动的结果是纸上的静态痕迹，回想起角度的概念，即由两个连续的段/半线确定的平面的一部分。在用纸和记号笔进行的人类绘画活动和用纸和记号笔进行的人类绘画活动之间的转换和辩证法中，学生的感知被驯化为既包括作为平面一部分的角度的静态客观化，也包括如上所述的作为GGBot旋转的动态客观化。

无论是参照系统还是角度，根据GGBot的行动模式和思维模式对眼睛的驯化都是在包括三个活动领域的过渡中完全完成的。

有限公司ncluding讲话

本文定位于DT对数学理解和学习的有效性的研究，旨在研究当绘图机器人GGBot以非数字技术补充初始学习时，理论感知是如何转变的。

我们提出了一个理论框架，该框架由四个组成部分构成，即:客观化过程;认识是感性的;GGBot和human -with-media;眼睛在活动域之间的转换过程中的驯化。我们的理论方法构建了小学生在涉及绘图机器人GGBot的活动中几何感知的展开。我们讨论了四个说明性的例子来巩固我们的理论讨论，并展示了学生在参与直接或间接需要使用GGBot的新形式的代理时，通过活动领域之间的转换来驯化他们的眼睛所面临的斗争。

我们分享了我们的理论研究可以为GGBot的数学教育提供的一些关键点。第一个元素更一般，它将社会文化符号学(TO)方法与Borba和Villareal的人类与媒体视角的相遇联系起来，其主题是在人类与数字和非数字技术的融合愿景中重新组织思维。一方面，Radford的符号学方法允许我们使用特定的变量进行操作，例如合并。另一方面，“人与媒介”的方法揭示了物化的符号学手段的本质，以及GGBot发挥作用时它们所促成的社会文化活动。

我们理论研究的基本原则是GGBot的引入改变了人工思维领域的拓扑结构。特别是，我们在我们的剧集中展示了GGBot如何通过其约束和潜力来决定几何活动，从而塑造了我们称之为客观化的学生的思维形式。人工思维领域的拓扑变化是通过与GGBot的特征紧密结合的对象化符号学手段的动员来证明的。例如，丹尼尔驯服了他的眼睛，使其反复出现的手势和自然语言与嵌入机器人的活动形式相一致。相反，Angela的手势和话语与机器人嵌入的活动不连贯，她无法驯化自己的眼睛，无法正确执行代码到图形的任务。

我们的理论方法的另一个重要特征是引入了与GGBot相关的三个活动域:

• 人类用纸和记号笔绘画(在引入GGBot之前)，与人类用纸和记号笔集体有关。这里活动的结果是一幅人体图画。

• 人类用纸、马克笔和智能机器人的绘画，与人类用纸、马克笔和智能机器人的集体有关。活动的结果是一个GGBot绘图。

• 为使用纸张和标记器的人类绘图，与使用纸张和标记器的人类集体有关。这里的活动结果是人类绘图，但作为GGBot绘图的预测实现。

他们提供了一个更广泛的人与媒介的定义，实现了人与GGBot在活动、物化的符号学手段和知识之间的相互联系中的共生关系。“媒介人”指的是与数字技术共生的社会个体，他们发展出新的文化理论感知形式(眼睛的驯化)。

这三个活动领域之间的转换概念提供了一种新的理论工具，以确定GGBot在数学学习中的有效性——作为眼睛的驯化——以及学生必须面对的困难的可能起源和性质。GGBot在活动领域之间的转换使我们能够将几何学习作为一个客观化的过程。

在活动领域之间转换的背景下，我们的研究证实了Miragliotta(2019)的发现，该发现显示了预测任务在提供有关几何学习的见解方面的力量。特别是，在我们的案例中，几何预测被揭示为学生对几何实体的想象性感知的窗口，这些实体内化了GGBot进行的活动形式，以及它根据其中浓缩的知识所动员的对象化的符号学手段。在这方面，正如我们上面提到的，在GGBot之后，人类用纸和标记进行绘画的过渡在通过物化识别GGBot活动的一般几何意义方面发挥了重要作用，这些意义作为操作不变量出现，独立于GGBot的物理存在。

关于Jacinto和Carreira(2017)的技术-数学流畅性，我们观察到数学和技术知识都存在于人工思维领域的拓扑结构及其所支持的活动形式中。事实上，GGBot及其建立的人工思维领域的拓扑结构浓缩了在活动中被动员起来的数学和技术知识。从这个角度来看，对技术工具的表征能力的感知——哈辛托和卡雷拉视角的关键——可以通过眼睛的驯化来实现，正如丹尼尔的情节所强调的那样。

我们相信，我们在这一贡献中提出的理论反思使我们能够适当地构建由引入GGBot在几何学习中引发的活动领域之间转换的复杂性。尽管如此，在本文中，我们将重点介绍四个基本的SNAP组合!命令(图1b中的前四个命令):需要进一步研究以了解涉及其他命令的情况。例如，参数SNAP!步骤和旋转命令(图1b中第二组四个命令)不仅允许我们展开一个扩大的(和更一般的)几何图形集，而且还提供了接触与测量和度量相关的数学文化对象的机会。

下载原文档：https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s40751-023-00124-7.pdf