摘要

在本文中，我们对近年来在概率论教与学方面最杰出的研究进行了个人综合。我们进行了系统的搜索，以检查在数学教育、统计教育、教育和心理学期刊上关于这个主题的出版物。在会议论文集或书籍中发表的其他研究补充了这一探索。我们对这些论文进行分类，以突出该领域最近的主要研究趋势，根据研究主题和考虑研究目标。认识论分析表明，基于模拟的非正式推理减少了主题的抽象性，但将概率降低到频率论的观点。特别关注的主题包括儿童的概率知识、可视化对解决条件概率问题的影响、教师教育和概率建模。在最后一节，我们推荐了需要进一步调查的相关点，以完善我们对教与学的认识。特别是，我们缺少对教师对许多概率概念的数学知识和教学知识的研究。

1 基金会

概率教育的研究有着悠久的传统，来自心理学、统计学和数学教育，如综合著作(例如，Batanero et al.， 2016;Borovcnik & Peard, 1996;Jones et al.， 2007;Pratt & Kazak, 2018;肖尼西,1992)。本研究为现代社会中公民应对不确定性和风险的需求提供了支持。

Piaget和Inhelder(1951)的第一个研究调查了儿童概率推理的发展成长，并描述了这种发展的阶段。其他心理学家继续了这项研究，最相关的是Fischbein(1975)，他分析了随机直觉，并建议早期进行概率教学。另一个心理学研究项目描述了人们计算概率的策略(启发式)和由此产生的系统误差(偏见)。这些偏见出现在决策过程中，即使在统计上受过良好训练的成年人中也是如此(Gilovich et al.， 2002)。

第二个影响来自统计，特别是国际统计研究所首先推动的国际教学统计会议(ICOTS)，后来由国际统计教育协会推动。统计学家在大学水平的服务课程中教授统计学，这些课程针对的是(一般来说)没有微积分或代数经验的各类学生。因此，许多统计学讲师对调查学生的困难和探索教学资源以促进理解感兴趣。

数学教育的研究是为了面对学校层面的概率教学所带来的具体挑战而产生的，概率是数学中唯一涉及不确定性的部分。除了教授和学习问题、技术和资源之外，数学教育者还对认识论和课程研究以及教师教育感兴趣。这项研究受到了国际数学教育大会(ICME)、欧洲数学教育会议(CERME)、国际教学统计大会(ICOTS)和其他统计或数学教育会议上研究该主题的研究小组的推动。具体书籍(如Batanero & Chernoff, 2018;Chernoff & Sriraman, 2014;琼斯,2005;Kapadia & Borovcnik, 1991)补充了这项工作，其中包括由不同理论框架支持的理论和实证研究。

概率是统计学的一部分，在学校的数学中也包括统计学，尽管在大学里，这些主题通常是分开的。在许多国家，不同的研究生课程培养数学家和统计学家，他们依靠自己的研究会议和特定的期刊。区分这些领域的其他特征支持统计学教育作为一个特定研究领域的观点(Batanero & Borovcnik, 2016)。

统计包括探索性数据分析(EDA)、推理和概率，这提供了使从EDA过渡到推理成为可能的数学模型。由于概率论的历史渊源和方法比统计学与数学的联系更紧密，我们将概率论教育视为数学和统计教育的一部分。

我们专注于概率教育，尽管在描述建模时偶然涉及推理。我们重新审视了自2018年以来进行的调查，其中多种多样且不断增长的生产是显而易见的，以确定主要趋势并提出继续研究的想法。我们将这些研究分为心理学、统计学和数学教育研究等领域，并对Batanero等人(2016)的建议进行了轻微修改。由此产生的分类组织了本次调查的不同部分，并在最后部分提供了新的研究方向:

• 认识论分析:对不同概念本质的反思在概率中尤为重要，因为不同的概率观点仍然并存，并影响着统计实践和概率教学(Batanero等人，2016;Borovcnik & Peard, 1996)。

• 学校课程概率论分析:不同概率论与教学形式化程度的争论影响着学校课程。课程指南、教科书内容和考试测试的变化由几位研究人员进行了检查。

• 儿童的概率推理:最近对在幼儿园和小学中引入概率和概率语言的直观概念的兴趣导致了分析儿童概率推理的新研究。

• 概率论中的直觉和学习困难:其他作者调查了针对中学、高中和大学学生的不同主题的教学和学习。兴趣在于识别相关的学习问题和错误信念。

• 可视化在改进贝叶斯推理中的作用:我们观察到大量的研究探索不同的资源来提高解决条件概率和贝叶斯问题的能力和克服推理偏差。

• 概率建模:虽然对概率建模的兴趣并不新鲜，但最近有兴趣使用概率模型将数据和机会联系起来，以及概率的经典和频率论观点。

• 教师教育:最后，越来越多的研究分析了职前和在职教师知识的不同组成部分，以教授概率和在职教师实践。

1.1 方法论的方法

我们对Web of Science和Scopus收录的期刊进行了2018-2023年的系统检索。我们将查询扩展到Google Scholar和Research Gate数据库，最近的CERME, ICOTS和ICME会议录，特定书籍(例如Batanero & Chernoff, 2018;利维等人，2018)和专题问题(例如，加拿大科学，数学和技术教育杂志，2022;数学，2022;zdm -数学教育专题:统计建模创新，2018)。

我们将“教学”、“学习”、“理解”、“困难”、“教育”、“课程问题”或“认识论”等关键词与“机会”、“分布”、“独立性”、“概率”、“随机性”、“随机变量”、“样本空间”和“抽样”等关键词组合在一起来研究这些材料。作为纳入标准，论文应以英语写作，包含实证或理论研究，同行评审，并以调查主题为中心。从最初的参考文献中，我们排除了用其他语言写的文献、发表在地区期刊上的文献和只描述教材或建议而不涉及研究的文章。如果可能的话，我们用来自同一作者的更完整的出版物代替了会议论文。我们在每一篇确定的论文中都使用了最近的参考文献，并对一些作者进行了个人的论文请求，以丰富调查中的作品集。对于最终选定的每一篇文章，我们在Excel文件上编制了参考文献信息、简短的个人摘要以及研究主题和方法、样本、材料分析和结论等信息。我们利用这些信息对论文进行分类和比较，在连续阅读所有文件后，我们逐步完善了调查中最初的类别列表。

接下来，我们提出了研究结果，并提出了在该领域继续研究的一些建议。在参考文献中，我们选择了一些注释论文，以反映概率教育主题的多样性，并因为他们的突出兴趣。

2 认识论分析

认识论反思有助于澄清我们在Batanero等人(2016)、Borovcnik(2021)和Chaput等人(2011)之后简要描述的不同概率方法:

在经典或拉普拉斯的意义上，概率是对某一特定事件有利的情况数除以所有可能情况数的分数。它只适用于所有基本事件的概率相等的情况，例如，在机会游戏中。在频率论方法中，概率被定义为当一个随机实验被重复无数次时，相对频率趋于的假设数。由于我们只进行有限次数的试验，用这种方法，我们不能得到确切的概率值，而是它的近似值。

倾向意义假设概率是随机过程在长期内产生给定结果的趋势的度量;间接地与单一事件相关(Borovcnik, 2021)。在逻辑意义上，概率是衡量某些证据E对给定假设H的支持程度的合理确认程度，是在极端情况下具有含意和不相容的客观值。

在主观主义的观点中，概率是个人的信念程度，它取决于一个人的知识或经验，不需要重复一个情况来分配概率。因此，概率论的应用领域更为广阔。最后，在公理化的观点中，概率是在区间[0,1]的事件代数中定义的赋范测度，它满足一系列公理。

古典主义、频率论和主观主义的方法仍然影响着学校课程，而公理化观点主要包括在高等数学课程中，其余观点主要由哲学家研究。此外，概率的频率论和主观主义观点影响了各种推理方法，与测量和证明这些观点有关的问题仍在争论中(Borovcnik, 2021)。

最后，由于风险的许多应用，人们对风险的概念越来越感兴趣。此外，我们应该在教学中将风险和概率联系起来，因为风险情况作为一个背景的相关性，以发展概率的不同含义(Borovcnik & Kapadia, 2018)。

3.学校课程中的概率分析

一些研究考察了不同学校级别的概率课程内容，或将这些内容与教科书或外部考试中反映的内容进行了比较。

到2018年，美国大多数州已经从小学课程中取消了概率，并在初中课程中减少了概率(langall, 2018)。然而，最近的课程(例如，ACARA, 2020, MEFP, 2022和langall列出的国家，2018)从小学开始就引入了概率。基本原理是帮助孩子发展正确的概率直觉。此外，只在中学经历过概率的学生可能无法充分理解主要的概率概念，也无法为以后的正式学习做好准备(langall, 2018)。

数学教科书支持教师和学生，尽管它们也可以实施教学变革(Rezat et al.， 2021)。因此，一些作者对教科书中的概率内容进行了分析。例如，在智利中学教育教科书中(Carrera et al.， 2021)，随机变量主要作为感兴趣的变量呈现，而忘记了其他含义(幅度、统计变量或函数)。与符号相比，随机变量的图形和表格表示是稀缺的。教科书几乎省略了随机变量(离散或连续)的定义和分类。历史上的语境比数学教科书上的要丰富得多。

外部评价对教学的影响很大。在西班牙，大学入学考试评估的是有意进入大学的学生的知识和成熟度。然而，对12年来这些测试的分析揭示了所提出问题的潜在难度，以及与其他概率内容相比，对条件概率的高度重视(Batanero等人，2018)。

目录

摘要 1 基金会 2 认识论分析 3.学校课程中的概率分析 4 概率性的原因 幼儿宁 5 概率论中的直觉和学习困难 6 可视化在改进贝叶斯推理中的作用 7 概率模型 8 教师教育 9 未来的发展方向 参考文献 致谢 作者信息 搜索 导航 #####

4 概率性的原因幼儿宁

关于儿童概率推理的经典研究认为，与算术或几何推理相比，儿童关于机会和概率的想法需要时间来发展(Batanero et al.， 2016;growth等人，2021;Jones & Thornton, 2005)。今天，研究人员已经克服了这一假设，新的工作已经研究了幼儿对机会和概率的最初想法(Batanero等人，2021;Nikiforidou, 2018)。大多数研究都考虑了概率的经典意义;然而，一些研究也将主观主义和频率主义的含义联系起来(Kazak & Leavy, 2018, 2022)。

在本节中，我们研究了关于12岁以下儿童的最新研究，其中考虑了四个主要主题:(a)儿童对决定论和随机性的区分，(b)概率语言的出现，(c)组合推理，以及(d)儿童在比较概率时的推理(图1)。

幼儿概率推理研究的主要主题和材料

4.1 随机性感知

最近的研究分析了孩子们在随机性和不可预测性之间的联系，以及他们对随机实验的独立性的理解。结论是，在3到4岁之间，孩子们开始区分确定性和随机情况。他们表现出对随机现象的不确定性和结果的不可预测性的直觉理解，并在4-5岁时开始口头表达他们的概率直觉。5岁左右，孩子们会对预测随机结果的不可能性做出解释。大约7岁时，孩子们想象随机结果集的分布，并定性地预测事件发生的可能性(Batanero et al.， 2021)。7-8岁的儿童可以从古典主义、频率主义和主观主义的角度对不确定性进行推理(Kazak & levy, 2018)。此外，通过适当的教学，9 - 10岁的孩子可以理解随机序列中连续结果的随机性、不可预测性和独立性之间的联系(Bryant et al.， 2018)。

4.2 概率语言的出现

儿童在正规教育和日常生活中玩机会游戏时会使用机会语。儿童(7 - 8岁)使用概率语言相对准确地描述偶然事件的可能性;大多数人对同等可能性有定量的理解;然而，不可能性和确定性对孩子们来说是困难的(Kazak & Leavy, 2018)。在表达实验和模拟前后的可能性时，孩子们从主观的角度对可能性进行推理。他们根据实验和模拟结果修改预测是很直观的(Kazak & levy, 2018)。

发展概率词汇的五个方面是增量性、多维性、多义性、相互关联性和异质性。growth等人(2020)分析了在基于设计的研究中学习概率时，这些方面在一小群11 - 12岁儿童中是如何出现的。其中一项任务是将一些事件放在概率阶梯上，不可能事件在底部，确定事件在顶部。学生们在使用“确定”比“不可能”要困难得多，尤其是在研究的早期阶段。此外，概率的定性语言并不总是先于儿童的定量推理(growth et al.， 2020)。

4.3 组合推理

儿童需要组合能力，以列举随机实验样本空间中的不同事件并计算相关概率。由于其与乘法推理的关系，组合能力需要更长的时间来发展(Jones & Thornton, 2005)。幼儿用试错法解决简单的枚举问题，在没有指导的情况下，他们的策略没有明显的提高。因此，6 - 8岁的孩子在找到给洋娃娃穿衣服的所有不同方法时，并没有使用结构化的方法，尽管老师的互动有助于提高孩子的推理能力(Zapata-Cardona, 2018)。

4.4 比较和估计概率

当比较概率时，孩子们被要求在两个选项(例如，两个装有蓝色和黄色球的瓮)中选择提供给定结果更高可能性的选项。其他时候，孩子们被要求估计给定事件的概率。本研究使用了不同的材料(见图1)。从3岁开始，儿童开始比较概率，但系统地倾向于更有利的情况(Batanero et al.， 2021)。在4到6岁之间，许多孩子可以在一个简单的实验中推断出最可能发生的事件，并比较简单的概率。因此，大多数4 - 6岁的孩子在使用自己制作的材料(着色和剪纸鱼)进行实验时，正确地比较了一些事件的概率，当可能的情况数量相同或较小时(Vásquez & Alsina, 2019)。同样，在Nikiforidou(2019)的混合动物图片卡实验中，70%的4 - 6岁儿童预测，当把卡片倒过来时，最可能出现的动物是什么。

儿童的策略随着年龄的增长而提高，到6-7岁时，他们可以在比例简单的情况下使用有利和不利的因素来决定两种情况。发育变化发生在6至8岁之间，年幼的孩子主要比较获胜元素的数量，而年长的孩子则使用更复杂的策略(Supply et al.， 2020)。此外，学龄前儿童的数字能力与小学1-3年级儿童的概率能力相关(Supply et al.， 2022)。

上述研究侧重于经典概率观，而Kazak和Leavy(2022)调查了7 - 8岁儿童对主观主义和频率主义概率的理解。作者探讨了儿童在使用物理实验和计算机模拟获得的数据估计事件概率时如何将这些概率观点联系起来。虽然参与研究的孩子还没有达到足够的概率定量推理，但他们中的许多人使用这些数据来更新他们最初的主观概率，这是基于他们的个人信念。

5 概率论中的直觉和学习困难

成功的概率教学需要预见到学生带入课堂的非正式想法和困难。该领域的部分研究延续了Gilovich et al.(2002)总结的先前关于推理偏差的心理学研究。我们还发现了在正式学习特定概念方面存在困难的研究。

5.1 概率推理中的偏差

最近的研究一致认为，正规的概率教育不会显著影响推理偏差。例如，Kaplar et al.(2021)发现许多工科学生持有以下错误推理:对样本量不敏感(忽略样本量对抽样可变性的影响)，基本率谬论(在条件概率的应用中不考虑先验概率)，代表性(期望随机实验的短序列结果将具有随机过程的主要特征)，虚幻相关性(在不存在相关性时假设相关性)以及不区分连接和分离事件。在组合谬论(Chernoff et al.， 2018)中，当某部分(单个硬币中的事件等概率)为真时，个体推断出关于整体的事情是真的(例如，投掷几个硬币中复合事件的等概率)。

儿童和成人对机会游戏公平性的判断显示出类似的低表现和误解，这表明成熟度和经验不足以在比较概率时发展对独立性的理解、对样本空间的评估和对比例性的感知(Batista et al.， 2022)。在一项教学实验中，九年级学生帮助编写教材并担任一组五年级学生的教师，部分克服了代表性和基本率谬论。数据以绝对频率提供，教学由下一节描述的可视化支持(Vargas et al.， 2019)。结果表明，两个年级的学生都有了全面的进步。

5.2 正式的学习

Beckman和delMas(2018)探讨了本科生对一项任务的反应，该任务要求学生在一个虚构的环境中识别样本、总体、统计数据和参数。学生描述样本和总体的回答是准确的，而统计和参数与各种其他概念混淆。Salinas-Herrera和Salinas-Hernández(2022)分析了Fathom软件支持的二项分布的正式学习。虽然大多数高中生正确地解释了模拟结果，并使用软件来解决概率问题，但并不是所有人都接受二项向正态分布收敛。因此，老师应该明确地介绍大数定律，因为学生没有发现这个定理。

6 可视化在改进贝叶斯推理中的作用

在贝叶斯任务(涉及条件概率和贝叶斯规则的问题)中出现了许多推理偏差，例如基本率谬论或逆(识别P(A|B)与P(B|A))的混淆。人们不仅在数学课堂上面临这些问题，而且在许多专业环境中也面临这些问题，在这些环境中，正确的决策取决于他们的解决方案。在这些情况下，以自然频率(通过保留基本率和子样本信息的采样元素获得的频率)而不是以概率或百分比呈现问题信息可以提高人们的表现(Vargas等人，2019)。然而，有些人将这些问题转化为概率形式，而不是使用自然频率来解决它们。此外，当数据为固有频率格式时，许多学生无法获得贝叶斯任务的正确解决方案(budget & Pfannkuch, 2019;Weber et al.， 2018)。

在本节中，我们描述了使用不同的可视化资源来帮助克服这些问题的研究(见图2所分析的工具和变量)。我们区分了贝叶斯推理的三个组成部分:(a)解释问题数据，(b)计算条件概率的性能和策略，以及(c)将结果应用于归纳推理或决策。Böcherer-Linder等人(2022)增加了在贝叶斯情况下，在专家-外行设置(如医生-患者)中适当沟通概率信息的能力。

不同作者研究的可视化工具和变量

由于技术的进步，概率的静态和动态视觉表示正在对数学教育产生兴趣(budget & Pfannkuch, 2019)。这些工具包括维恩图、双向表、树形图和双树形图、图标数组和单位平方图，每一个都更适合表示联合概率或条件概率。Böcherer-Linder和Eichler(2019)使用上述工具分析了本科生在贝叶斯问题中的表现。他们的结果显示，在表示离散对象(图标数组)方面有额外的好处，尽管在显示面积比例(单位正方形表示)方面没有好处。大学生在贝叶斯任务中的策略和错误程序取决于所使用的可视化。因此，使贝叶斯任务的嵌套集结构透明的显示(树形图)有助于学生的贝叶斯推理。然而，与单位正方形相比，树形图在一定程度上阻碍了人们在贝叶斯问题中找到正确的分母(Eichler et al.， 2020)。

预算和Pfannkuch(2019)提出了一个弹珠图，这是一个动态和交互式的树形图，增加了一个单位平方图。使用这个工具，学生可以改变问题数据，比如基本比率，并观察两种表示(树和单位平方)的结果。这个工具允许本科生在解决贝叶斯问题时进行猜测，并使用模拟进行测试。在模拟该问题时，改变弹球图分支宽度的能力可以传达基本速率的影响。此外，弹珠图提供的表示有助于澄清条件概率与其逆之间的区别(budget & Pfannkuch, 2019)。

表示条件概率的不同技术可能会影响学生对可视化解释数据的理解和使用。在Reani等人(2018)中，维恩图与树形图在任务绩效方面相似，尽管后者更容易解释;此外，参与者认为图标阵列在传达条件概率信息方面表现不佳。

贝叶斯推理教学的一个目标应该是学习在日常环境中易于应用的策略。为了实现这一目标，Starns等人(2019)使用交互式条形图来表示问题中涉及的几率。该方法替代了贝叶斯公式，但贝叶斯公式对学生来说比较困难。此外，赔率与概率具有相同的信息，可以与赌博或医疗诊断等熟悉的环境相关。用新工具进行的短期培训在很大程度上提高了解决问题的能力。之后，研究参与者仅使用纸和笔，使用互动工具充分地应用了这项技术。

7 概率模型

建模的教学和学习与数学的教学和学习有着密不可分的联系，数学永远不能与数学以外的领域隔离开来，数学工作总是涉及建模(Niss & Blum, 2020)。概率也不例外，因为法国irem统计与概率委员会在本世纪初提出建模，以帮助学生将概率的经典观点和频率主义观点联系起来(Henry, 2001)。

从这个角度来看，概率被认为是表示随机结果可能性的理论值。我们可以在经典方法中先验地获得这种理论概率，从其相对频率(频率主义观点)中后验地估计它，或者主观地分配和更新它(主观主义观点)(Batanero & Borovcnik, 2016;Chaput et al.， 2011)。此外，总体中可观察特征的概率分布可以解释为现实中观察到的数据(来自这些总体的样本)的模型。概率的经典观点和频率论观点之间的这种联系在非正式统计推理(ISI)中也是必不可少的(Pfannkuch等人，2018)，今天推荐引入推理。

Makar和Rubin(2018)将ISI描述为产生超出手头数据的主张，认识到所涉及的不确定性，使用数据支持这些主张，并考虑上下文。ISI可以在很少形式化的情况下进行教学，以减少所需的概率内容(Borovcnik, 2022)。然而，对ISI的良好理解取决于学生对人口、分布、样本、抽样分布和独立性等概念的了解。因此，教师应该帮助学生理解这些概念(Lee, 2018)。

通常，代表偶然情况的模型可以在计算机中模拟，因此多次运行模拟可以帮助学生探索模型的长期行为(Kazak & Pratt, 2021)。这一事实导致了基于重复抽样模拟的不同统计推断方法(Batanero & Borovcnik, 2016)。

上述所有想法都是近年来发展起来的(见Pfannkuch等人，2018年的调查)。例如，Eichler和Vogel(2014)分析了概率的经典、频率论和主观主义观点下的概率建模和教学情况。两项相关倡议是关于非正式统计推断背景下的模型推理和建模的专题问题(统计教育研究杂志，1917年)和统计建模创新(ZDM-Mathematics 2018年)。处理模拟和建模的论文的结论包括:

• 即使是小学生也可以通过适当的教学和软件创建与真实数据相关的模拟统计模型(Ainsley & Pratt, 2017;Aridor & Ben-Zvi, 2017)。

• 促进聚合推理(利用一组数据的全局特征进行推理)对于理解抽样分布等概念至关重要。虽然这种类型的推理是困难的，但它可以通过适当的模拟活动来培养(Aridor & Ben-Zvi, 2017,2018)。

• 模拟可以帮助本科生更好地理解不同理论分布(例如泊松分布和指数分布)之间的联系，并更深入地理解分布和随机性(budget & Pfannkuch, 2019)。

• 在教师教育中，建模活动可以帮助他们发展数学内容和教学知识(Biehler et al.， 2018)。

8 教师教育

在过去的几十年里，以数学教师教育为中心的研究急剧增加。已经提出了不同的理论模型来组织这项研究，并一致认为教师需要与他所教的教育水平相关的普通数学知识和数学内容的高级知识，这些知识允许教师在更高教育水平的主题教学中表达这些知识。此外，教师需要在不同的理论框架中概念化的教学知识。教学-数学知识(DMK)模型(Pino-Fan等人，2015)考虑了以下方面:认知(专业数学知识或特定于教学的数学知识)、生态(了解学科与课程中其他主题以及与社会的关系)、认知(了解学生的学习、困难和推理)、情感(管理学生和自己的态度、信念和情绪)、中介(熟悉教学资源和技术)和互动(管理课堂话语)。

在本节中，我们总结了DMK的每个组成部分在教学概率方面的最新进展(见图3)。样本中的受试者包括小学和中学的准教师(PTs) (Abu-Ghalyoun, 2021;Alonso-Castaño等，2021;Hourigan & Leavy, 2020)，数学和科学中学PTs (Batanero et al.， 2022;Gravir, 2019;Ingram, 2022)，在职小学教师(Grando & Lopes, 2020;Malaspina & Malaspina, 2020)和在职高中教师(Martin et al.， 2022;Salinas-Herrera & Salinas-Hernández, 2022)。

教师的知识和能力的组成部分和调查的主题

处理数学知识以教授概率的研究集中在对随机性和随机过程的理解和推理上(Chernoff等人，2018;Gravir, 2019;Ingram, 2022)，涉及采样中的经典概率和频率概率(Batanero等人，2022)，公平性(Hourigan & levy, 2020，提出并解决概率问题(Alonso-Castaño等人，2021)，样本量对抽样可变性的影响以及基于这些样本的推断的置信度(Abu-Ghalyoun, 2021)。本研究指出了部分pt存在数学困难，尤其是小学pt。

小学pt可以处理数学过程，如提出问题和解决问题、沟通和论证(Alonso-Castaño等人，2021)，并表现出对概率公平的理解(Hourigan & levy, 2020)。然而，许多人不熟悉随机性和概率的各种含义，有些人没有意识到试验的独立性(Ingram, 2022)或存在诸如代表性(Hourigan & Leavy, 2020)或构成谬误(Chernoff et al.， 2018)等偏见。

当被要求生成一个尽可能随机的40个符号的二进制序列时，中学PTs低估了具有四个或更多相同符号的运行次数，并产生了太多的短运行(gravavir, 2019)。尽管他们建立了一个与频率数据一致的骨灰盒模型，但很大一部分中学PTs忘记了先前构建的骨灰盒模型，只使用频率数据来估计新提取的概率(Batanero et al.， 2022)。在这两种PTs中，一些随机性与等概率结果相关(Batanero等人，2022;霍瑞根&利维，2020;英格拉姆,2022)。这些困难可能不一定是因为缺乏专业知识，而是因为激活了生产率较低的知识要素(Abu-Ghalyoun, 2021)。

一些研究使用创造性任务将教师的数学知识与他们的教学知识相结合。这些任务包括为教学水平创建和解决概率问题(Alonso-Castaño等人，2021)，发明和修改游戏(Malaspina和Malaspina, 2020)，为小学设计公平和不公平的活动(Hourigan和Leavy, 2020)，以及规划正态分布的教学经验(Salinas-Herrera和Salinas-Hernández, 2022)。

在认知方面(专业知识)，小学PTs成功地构建了三个或两个不同的随机生成器的公平和不公平游戏(Hourigan & levy, 2020)。然而，他们中的一些人在提出给定学校水平的问题时缺乏专业的数学知识，因为他们提出的任务要么不符合特定内容，要么不适合学生的年龄(Alonso-Castaño et al.， 2021)。在职小学教师的专业知识更丰富，他们成功地将机会游戏运用到教学中(Malaspina & Malaspina, 2020)。

关于情感方面，Martin等人(2022)的所有在职教师都同意概率的社会有用性和对学生教育的兴趣。修改机会游戏有助于在职教师增强创造力、自我效能感、自尊、提问能力和学习乐趣(Malaspina & Malaspina, 2020)。在使用交互式故事书后，还观察到小学pt对概率及其教学的态度和感受发生了积极变化(Guiñez等人，2021)。

至于生态方面，在共同设计和分析正态分布的教学经验时，与在职教师的课程有很好的互动(Salinas-Herrera & Salinas-Hernández, 2022)。此外，Martin等人(2022)的在职教师同意理论方法与概率的相关性，主要的概率概念的教学和传统任务的使用。然而，人们对小学PTs课程的了解甚少(Alonso-Castaño et al.， 2021)。

关于概率教学工具的知识(中介方面)，纸牌，骰子和硬币是给PTs带来更多挑战的随机生成器(Hourigan & levy, 2020)。对于在职中学教师，虽然有些人在教学前不熟悉软件并对其作用持怀疑态度，但在教学经历后，他们的观点发生了变化(Salinas-Herrera & Salinas-Hernández, 2022)。教师使用各种任务、可操作的资源和技术来开发频率主义方法，并且在探索和扩大技术工具的附加价值方面达成了充分的共识;然而，他们以不同的方式使用不同的资源和相同的工具(Martin et al.， 2022)。Biehler等人(2018)也分析了模拟活动，这有助于教育教师的数学和技术知识。

其他研究则关注在职教师在概率教学中的教学实践。因此，Martin等人(2022)研究中的教师向学生介绍了频率主义方法，尽管他们如何进行这种介绍以及他们向学生提出的情况各不相同。不同的概率观有不同的联系方式，而主观主义的概率观在课程中只占据了一个边缘位置。Post and Prediger(2022)分析了教师在条件概率教学中处理多重表征的做法。对一些学生来说，将给定文本的概念翻译成其他表示形式(可视化、象征主义、语言)就足够了。其他需要支持将压缩的概念展开为几个概念元素，并显式地将它们以多种表示形式连接起来。Grando和Lopes(2020)研究了创造性不服从，它描述了那些在寻求保护他们提供服务的人时违反规则和指令的专业人员。他们的结论是，创造性不服从的教师提供了一种调查氛围，让孩子们讨论、质疑和反思，为统计问题提出创造性的解决方案，使学习对孩子们更有意义。

9 未来的发展方向

调查中描述的过去几年概率教育的研究趋势有助于确定调查仍然缺乏的主题。本研究的一个局限是主要关注概率的经典和频率论观点，而主观概率和建模方法值得更多的关注。

我们发现很少有认识论和课程分析。可能的新主题是寻找方法在课堂上引入风险和概率之间的关系(Borovnick和Kapadia, 2018)，并调查概率与其他领域之间的关系如何加强学校的跨学科工作(Carrera等人，2021)。对不同国家评估测试中提出的教科书和概率任务的分析，如Batanero等人(2018)的分析，是另一个感兴趣的话题。

对幼儿园和小学儿童概率推理的研究表明，他们可以形成关于不确定性和概率的想法(例如，Nikiforidou, 2019;Vásquez & Alsina, 2019)，从古典主义、频率主义和主观主义的角度(Kazak & levy, 2018, 2022;Nilsson et al.， 2018)。我们应该用更多的儿童和任务和环境的变化来补充这项研究，以确保研究结果的普遍性。由于大多数研究都归结为经典观点，而一些国家很早就引入了主观主义或频率论概率(langall, 2018)，因此需要进一步研究我们应该如何对儿童采取其他方法。

即使对学生直觉和学习的研究已经有了很长的历史，但课程内容的变化和技术的影响预示着这种调查将在未来几年继续下去。考虑到概率推理对随机性、样本空间、概率比较和相关性的依赖性(Bryant & Nunes, 2012)，还没有进一步的研究来调查不同学校水平的学生如何理解这些主题，以及哪种教学方法能帮助他们克服推理偏差。因为许多概率概念依赖于比例推理(Jones & Thornton, 2005;Nikiforidou, 2018)，这些研究还应该将学生的理解与他们的比例推理水平联系起来。

在一些经验中，模拟不足以促进相关想法，例如收敛(Salinas-Herrera & Salinas-Hernández, 2022)。因此，技术和其他材料在解决这些问题中的互补作用需要更多的研究。更多关于在不同文化背景下理解概率的跨文化研究，如莫里斯(2021)，也将受到欢迎。此外，对概率建模的研究主要与非正式的推理方法有关，而不是专门与概率有关(Pfannkuch等人，2018)。在处理概率分布时，需要更多的调查来分析学生的建模活动(Kazak & Pratt, 2021)。

尽管有很多关于不同可视化技术的研究，但它只考虑了这些工具在条件概率和贝叶斯问题中的有效性(budget & Pfannkuch, 2019;Eichler et al.， 2020)。我们缺乏研究可视化工具如何改善其他概率概念研究的论文，例如比较概率、随机变量和分布或抽样。还需要对学生在同时处理多个表征时的挑战和学习过程以及他们如何将它们联系起来进行更多的研究(Post & Prediger, 2022)。由于学生在校外环境中需要贝叶斯推理(Starns et al.， 2019)，我们应该根据对这些情况的解释来设计和分析教学任务;例如，取自媒体的新闻。利用概率教育来防止赌博相关的扭曲(Primi & Donati, 2022)和提高概率信息交流能力的研究也应该进行(Böcherer-Linder等人，2022)。由于许多学生没有正确地使用固有频率来解决贝叶斯任务，因此实现固有频率的合理程度以及教师对该概念的熟悉程度是另一个主题(Weber et al.， 2018)。

如前所述，成功的概率教学需要教师做好充分的准备。然而，我们仍然缺少对他们的许多概率概念的数学知识的研究。教师对教学概率的态度和信念也需要新的调查，因为教师的情绪经常会传递给学生(Guiñez et al, 2021)。此外，仍然很少有论文集中在他们的教学知识的认知和互动组成部分(Pino-Fan等人，2015):教师如何构思学生的学习，预测他们的困难和策略，以及克服这些问题的教学实践。至于中介方面，一项有趣的工作是分析教师在处理概念时的实践，例如具有多个表示的条件概率(Post & Prediger, 2022)。对教师的技术知识进行概率论教学的研究也很少，而且大多只考虑具体的软件。

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