摘要
考虑\({\mathbb {R}}^{d+1}\)中的两个半空间\(H_1^+\)和\(H_2^+\)，它们的边界超平面\(H_1\)和\(H_2\)是正交的，并且经过原点。交集\({\mathbb {S}}_{2，+}^d:={\mathbb {S}}^d\cap H_1^+\cap H_2^+\)是d维单位球\({\mathbb {S}}^d\)的球面凸子集，它包含一个维数\(d-2\)的大子球，称为球楔。在\({\mathbb {S}}_{2，+}^d\)上均匀随机选择n个独立的随机点，考虑这些点的球面凸壳的期望面数。结果表明，在低阶项下，这个期望像常数倍\(\log n\)一样增长。对于\({\mathbb {S}}_{2，+}^d\)上齐次泊松点过程的期望面数，得到了类似的行为。结果与经典欧几里得随机多面体和球面随机多面体在半球上的对应行为进行了比较。
1 介绍
构造随机多面体的经典方法之一是取一个固定的凸体和一列均匀分布在k中的独立随机点
随机点的凸包。我们可以把它看作集合K的随机多边形近似，当随机点的数目n趋于无穷时，它趋于K。有几个有趣的随机变量与随机多面体相连，其中一些可以被看作是K的近似程度的度量，而另一些则给出了组合复杂性的信息。通常考虑以下概念之一:
- (i)
体积，更一般地说，第k个固有体积，
- (2)
的面数，即的-维面，以及更一般地说，的k维面数。
从现在开始，我们将关注组合结构的一阶性质，更准确地说，关注k维面的期望数量。关于随机多面体的进一步背景资料，我们参考调查文章[3,11,15]。
众所周知，as的渐近性质取决于底层凸体K的几何形状。事实上，如果K属于一类，即，如果K的边界是在每一点具有严格正高斯曲率的-子流形，则
(1.1)其中为仅与d和k有关的常数，已知为k的仿射表面积，见例[14，定理4]。在这里和下面，我们用小0符号表示误差项，也就是说，我们的意思是，我们假设。在[7]中，利用[10]中的工具推导出了球面空间中的(1.1)的类似式。
另一方面，它是一个d维多面体，则
(1.2)其中为另一个仅与d和k有关的常数，而为P的标志数，即链数，其中每一个为P的一个i维面，如[14，定理8]。在不同的通用性水平上，这些结果可以在[16]，[4]和[14]中找到，对于一般的d和k。参见[6,17]在(加权)浮动体的背景下类似于(1.2)的极限定理。
让我们再提一下另一种模式，它通常与。设一个泊松点过程，其强度由限定在某凸体上的勒贝格测度的常数倍给出。我们将泊松随机多面体定义为泊松点过程的凸包。在这种情况下，我们注意到相等点的期望值，这意味着对于泊松随机多面体，数量与开始描述的经典随机多面体的数量n起相同的作用。
为了激励我们的结果，让我们回顾一下[5]中介绍的以下设置。我们假设在d维上半球上均匀分布的独立随机点序列。因为我们考虑球面凸壳
的随机点，它被定义为它们的正壳的交集
用单位球。这个凸壳是一个球形随机多面体，近似于半球体，如。值得注意的是，的k维球面的期望数量不会像经典随机多面体的情况那样增长到无穷大。相反，没有任何重整化，
(1.3)其中是仅依赖于d和k的常数，对于一般k参见[5]和[12]。我们注意到，在对半球内部的北极进行多项式投影后，球形随机多面体可以与随机点的凸壳相识别，具有所谓的带参数的β素数分布in，其中带参数的β素数分布on的概率密度由
(1.4)参见[12,13]。
半球可以看作是一个球面凸多面体，只有一个面，没有其他边界结构，类似地，我们想把它看作是一个d维凸“无界多面体”，在无穷远处只有一个面。将有界多面体与“无界多面体”的情况进行比较，我们得出以下自然问题:是否存在随机多面体的模型，可以在(1.2)和(1.3)的行为之间进行插值?
为了回答这个问题，本文将重点放在案例和以下结构上，它概括了[5,12]中的方法。给定超平面经过原点，并且在一般位置，我们定义集合
式中为正半空间，以超平面为界，则是的一个d维球面凸子集，它包含了一个很大的维数的子球，它的形状由它们之间的夹角决定。进一步设为均匀分布于上的独立随机点，设为的球形凸壳。值得注意的是，对于，直到旋转一次，可以识别为，并且球形随机多面体的面数分布与[5,12]研究的分布相同。另一方面，将单位球与半空间相交，可以将其看作是n个独立随机点的凸包，具有一个素数分布，参数限制在d维单纯形的域内。与此模型(我们称之为二项式模型)并行，我们还考虑其对泊松点过程的类似物，即所谓的泊松模型。即，设为一个泊松点过程，其强度测度为。我们将球形泊松随机多面体定义为的球形凸壳。
我们推测，刚刚描述的模型提供了一系列示例，其中预期面数的行为在(1.3)和(1.2)之间变化，因为j在1和d之间变化。更准确地说，我们制定了以下猜想，其中每种情况下都代表收敛于零的维度相关序列，如。
猜想:因为有人有
式中为仅依赖于d和j的常数。特别是，假设它们处于一般位置，一阶渐近展开不依赖于它们之间的实际夹角。我们还推测误差项实际上取决于超平面之间的夹角。
在本文中，我们证明了这个猜想的一个特例。也就是说，我们考虑这种情况，并假设超平面和之间的夹角是直角。本文将所得集称为球形楔。我们的主要结果是下面的定理。
定理1.1
让我们假设。那么就存在一个只依赖于空间维数d的常数，使得
和
我们不能明确地确定常数。然而，我们有这个
其中为式(4.3)定义的常数，其值未知。此外，因为我们可以明确地确定，这导致，见备注4.3。这反过来又产生了那
对。这应该与随机多边形的边缘(或顶点)的预期数量进行比较，随机多边形定义为平面多边形中n个独立且均匀的随机点的凸包。对于该模型，从[16,Satz 1]可知
参见[4,Eq.(1.6)]以获得更高维度的扩展。因此，期望边数的前阶渐近行为小于任何边，并且类似于假设的只有边的二维凸多边形。泊松模型也有类似的结果。
虽然如上所述，在[5]中已经使用球面积分几何的工具研究了上半球中的随机球面多面体，但首先应用相对于半球中心的多项式投影是一个富有成果的想法。对半球体上的随机球多面体的研究随后转变为对欧几里得空间中随机多面体模型的研究，其中点按照所谓的β素数分布分布(见[7,12])。在本文中，我们还将使用椭圆投影，这次是关于球楔的中心，它将我们考虑的随机球多面体映射到欧几里德空间中双无限条中定义的随机多面体，其中条的宽度由球楔的角度决定。生成点按照欧几里得空间中的受限β素数分布进行分布，如图1所示。然而，与半球模型相反，我们既不能完全在球面模型中进行期望面数的渐近分析，也不能在相应的条形欧几里得模型中进行渐近分析。相反，我们将在两种模型之间切换，并使用本文中开发的工具和球面和欧几里得积分几何的方法。
本文其余部分的结构如下。在第二节中，我们介绍了一些符号。定理1.1的证明分为四个步骤，这四个步骤是第3-6节的内容。在附录中，我们推导了一些用于主要论证的分析估计。
上图显示的是二维球形楔中的随机球形多边形。在球楔中心进行椭圆投影后，下图显示的是相同的随机球形多边形
2 预赛
通过表示d维单位球上的球面勒贝格测度，以这样一种方式归一化
给定向量，我们用它们的标量积和向量的欧几里德范数来表示。给定一个向量和一个数，我们定义一个超平面
在。我们定义两个封闭的半空间
以超平面为界。如果我们简化符号，就写。此外，如果法向量的依赖关系是无关紧要的，我们将省略它，并简单地写H，和。
给定向量，我们用它们的线性张成空间表示，它是包含所有向量的最小线性子空间。用的标准正交基表示。在接下来的内容中，我们通常会认同。给定一个线性M维子空间，用M上的正交投影算子和M的正交补表示。
给定一个向量，我们用。关于点的投影算子定义为
(2.1)投影的逆由
(2.2)有关侏儒投影的进一步背景资料，请参见[8，第4节]。
3.定理1.1的证明，第一步:约简
我们首先考虑基于泊松点过程的随机多面体模型。应用泊松点过程的多元Mecke公式[18，推论3.2.3]，我们发现
求和遍历所有不同点的d元组。接下来我们应用球面积分几何中的Blaschke-Petkantschin公式[5，引理3.2]，该公式表明
(3.1)式中为Borel可测函数，为具有旋转不变Haar概率测度的d维线性子空间的Grassmannian，为张成的d维平行四边形的欧几里得体积。该公式是[2]中更为一般的运动学公式的一个特例，可以很容易地从经典的线性Blaschke-Petkantschin公式[18，定理7.2.1]中推导出来。
应用式(3.1)，利用泊松点过程的计数性质，导出了
在最后一步中，我们使用了每个单位法向量决定一个超平面的事实。我们设置
和写
我们利用了对映映射是等距的，我们有。
具有开口角的球楔与由和(左)诱导的大超球及其对超平面的正交投影(右)
下一步我们引入球坐标。对于这个，我们选择一个标准正交基以这样的方式，和。然后
我们考虑球坐标，它由地图描述
我们认同的地方。因此，对于Borel可测函数，我们有
现在，由于楔形相对于的对称性，我们有这个
和
对于，。因此，我们可以将自己限制为和，见图2。
将这个变换应用于收益率的最后一个表示
(3.2)
和之间的关系是由关于的反思推导出来的
最后，因为我们可以对超平面进行反思，并转换超平面和的角色。这个操作是一个等距和映射到，其中是由纳皮尔规则确定的右球面三角形
见图3。映射不会改变and的值，即and、for。此外，如果，那么
这个条件是由观察得出的，对于和之间的夹角的法线，即，
满足和
我们计算
和
因此,
这个收益率
因为对所有人来说，我们都有
如图4所示，结合(3.2)，我们得出结论，
(3.3)和
(3.4)
该域以两个区域为界的条件
为了继续，我们需要推导出对于和对于的估计。这就是下一节中介绍的第2步的目的。
4 定理1.1的证明，步骤2:和的估计
4.1 预估
让我们从分析开始。首先我们要证明，这是一个球形楔。
引理4.1
球面凸集是具有开口角的尺寸的球形楔。而且，对于任何东西，我们都有
(4.1)因此
此外，如果
(4.2)证明
为了证明这一说法，我们可以考虑的正壳，其中产生一个d维锥C，其线性空间为维，在一般位置，在这种情况下是一个具有开口角的二维锥。为了证明(4.1)，我们选择第3节中介绍的参数化。我们首先注意到，
和
因此，二维楔形由这两个向量张成
见图5。因此,
和
对于所有和，证明(4.1)。
现在，如果，那么
因此，，证明了(4.2)。
二维楔形图
我们现在准备将结果公式化。
引理4.2
对于任意，我们有这个
此外，对于任何，我们有
然后，如果，然后
这里，常数由
(4.3)随机变量均匀分布于上，随机向量按β素数分布于上，参数和概率密度函数如式(1.4)所示，相互独立。
证明
如引理4.1所示，是一个具有开口角的五维球形楔。我们记得，
由于平行四边形的体积由其边长的乘积限定，我们得出结论，即
这解决了第一个不等式。
对于下一步，我们考虑关于球形楔的对称中心的侏儒投影。在进行相应的旋转后，我们得到，该集合在多项式投影下的像是，它特别独立于，因为它独立于(见引理4.1)。因此，根据逆投影的定义(2.2)和[9，命题4.2]，我们有
(4.4)进一步应用变量变换
回顾式(1.4)得到
我们在哪里用到了这个事实
特别地，根据引理4.1，这就产生了
对所有人来说。
为了得出下界，我们只需注意到引理4.1，
哪一种会以(4.2)的比例得到这个
对所有人来说。
话4.3
我们无法明确地确定(4.3)中for的常数值。然而，因为我们有
4.2 预估
我们将继续调查。
引理4.4
对于任何，我们都有
而且，对于我们所有人来说，存在着这样的东西
(4.5)和
(4.6)证明
我们将从案例开始。在这种情况下，
它描述了通常的球坐标。此外,
式中为带角的球面三角形，和。然后由球面三角形面积的吉拉德定理得出
(4.7)现在让我们考虑这种情况。首先我们注意到
由于球面勒贝格测度对旋转的不变性，为了方便起见，我们对楔形进行旋转，使超平面的法向量为，超平面的法向量为。我们保留符号，让。考虑一个相对于球体北极的侏儒投影
我们认同的地方。在半大超球下和分别用法向量和和到原点的距离1映射到超平面上。类似地，将半大超球映射到具有法向量的超平面上
以及到原点的距离。因此，由[9，提案4.2]我们得到
接下来，我们利用'密度对于旋转是不变的这个事实我们考虑一个旋转，这样
因为保持第d坐标轴和超平面不变，我们有
另一方面，等等
因此，应用变量的变化，我们得到
现在，我们要用到素数分布的另一个重要性质，即在k维线性子空间M上的正交投影下带密度的素数分布映射到带密度的M上的素数分布。严格地说，如果一个随机向量X有密度函数，那么投影的随机向量有密度，其中是一个等距，使得(见[13，引理3.1])。我们考虑在二维线性子空间上的投影。在这个投影下我们有
和
考虑二维半球相对于北极的椭圆投影，我们注意到上面的积分描述了球面三角形的球面面积，其中和分别是具有法向量和和的二维线性子空间。最后，我们考虑一种旋转，它被定义为在满足和的等距条件下，旋转约束在线性子空间上的像。因为向量和的最后两个坐标是相同的，向量和的最后两个坐标也是相同的。由此我们最终得出结论
它在证明开始时已经计算过了(见(4.7))，并且只依赖于向量的最后两个坐标。因此,
(4.8)为了证明引理的第二种表述，我们考虑这个函数
在附录A中，我们证明存在这样的
(4.9)f有绝对最小值，它是沿着矩形的边得到的。得到(4.5)和(4.6)。
目录
摘要 1 介绍 2 预赛 3.定理证明 ink" data-track-action="subsection anchor" href="http://webtrans.yodao.com/server/webtrans/tranUrl?url=http%3A%2F%2Fk1.fpubli.cc%2Ffile%2Fupload%2F202309%2F02%2F1qcilbig2bn.&from=en&to=zh-CHS&type=1&product=mdictweb&salt=1693625525617&sign=de4ff523fafd7a7236baf7a222c14780">1.1第一步:减少 4 定理证明 ink" data-track-action="subsection anchor" href="http://webtrans.yodao.com/server/webtrans/tranUrl?url=http%3A%2F%2Fk1.fpubli.cc%2Ffile%2Fupload%2F202309%2F02%2F1qcilbig2bn.&from=en&to=zh-CHS&type=1&product=mdictweb&salt=1693625525617&sign=de4ff523fafd7a7236baf7a222c14780">1.1，步骤2:估算 \ (I_1 \)和 \ (I_2 \) 5 定理证明 ink" data-track-action="subsection anchor" href="http://webtrans.yodao.com/server/webtrans/tranUrl?url=http%3A%2F%2Fk1.fpubli.cc%2Ffile%2Fupload%2F202309%2F02%2F1qcilbig2bn.&from=en&to=zh-CHS&type=1&product=mdictweb&salt=1693625525617&sign=de4ff523fafd7a7236baf7a222c14780">1.1第三步:合作 泊松模型的包含 6 定理证明 ink" data-track-action="subsection anchor" href="http://webtrans.yodao.com/server/webtrans/tranUrl?url=http%3A%2F%2Fk1.fpubli.cc%2Ffile%2Fupload%2F202309%2F02%2F1qcilbig2bn.&from=en&to=zh-CHS&type=1&product=mdictweb&salt=1693625525617&sign=de4ff523fafd7a7236baf7a222c14780">1.1第四步:合作 二项模型的结论 参考文献 致谢 作者信息 道德声明 A分析估计 搜索 导航 #####5 定理1.1的证明，第三步:Co泊松模型的包含
现在我们准备完成泊松模型1.1定理的证明。在继续之前，让我们以应用引理4.2和4.4的形式总结引理4.2和4.4中得到的界。存在和常数，对于所有人，我们都有
在哪里
和
注意我们是用引理4.1推导出来的
继续估算(3.3)，我们发现
使用有效的边界，我们得到
(5.1)对于上界，我们首先注意到
(5.2)对于all and和with and，不等式的证明见附录A.2。在(3.4)中使用它并应用适用于所有的估计，我们发现
(5.3)让我们分别考虑每一项。因为我们得到
下一个，因为有一个
和类似的
最后，我们发现
因此,
最后是设置
我们发现对于任何。利用洛必达法则，我们可以得出
将所有得到的界与式(5.1)和式(5.3)的结果结合起来
和
因为这对任意小的情况都成立我们最终推导出了它
这就总结了泊松模型的定理1.1的证明。
6 定理证明1.1，第4步:Co二项模型的结论
现在让我们考虑二项式模型。我们有这个
通过应用第三节第1步中的球面Blaschke-Petkantschin公式，我们可以看到
使用与之前相同的参数化，我们进一步得出结论
在与第4节第2步相同的边界上，我们得到
我们注意到
和定义
然后
参见，例如，[1,Lem]。第296页]。因此,
上界
可以用类似的方式得到。最后我们得出结论
这就完成了定理1.1的证明。
下载原文档：https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00208-023-02704-9.pdf