摘要

在本文中，我们证明了对于任意整数\(q\ g5 \)，无限\(\Delta \)正则树上的反铁磁q态Potts模型对于所有边缘相互作用参数\(w\ In [1-q/\Delta,1)\)具有唯一的Gibbs测量，只要\(\Delta \)足够大。这证实了民间流传已久的猜想。

1 介绍

波茨模型是一种统计模型，最初是为了研究铁磁性而发明的[32];它在概率论、组合学和计算机科学中也起着核心作用，参见例子[35]。

设一个有限图。图G上的反铁磁波茨模型有两个参数，若干状态或颜色，以及一个边缘相互作用参数，其中为耦合常数，k为玻尔兹曼常数，T为温度。这种情况也被称为零场伊辛模型。配置是一个映射。与这样的构型相关联的是权值，其中是边的个数。在构型的集合上有一个自然的概率测度，吉布斯测度，其中一个构型的抽样与它的权重成比例。形式上，对于一个给定的构型，一个随机构型等于的概率由

（1）

这里分母称为模型的配分函数我们用Z(G;q, w)(或者只是Z(G)如果q和w在上下文中是清晰的)

在统计物理中，波茨模型最常在无限格上进行研究，例如。在引入一些测度理论的代价下，吉布斯测度的概念可以推广到这样的无限图，见例[10,11,16]。虽然在任何温度下，有限图上的吉布斯测量是唯一的，但这不再适用于所有无限格。在统计物理中，从一个唯一的吉布斯测度到多个吉布斯测度的转变被称为相变[16,17]，确定发生这种转变的确切温度，即临界温度是一个重要的问题。Baxter[2,3]在物理文献中对几个晶格的临界温度进行了预测(更多细节和进一步参考文献参见[36])，但事实证明很难严格证明这些预测，参见[36]。

在本文中，我们考虑了无限正则树上的反铁磁波茨模型，也被称为Bethe格，或Cayley树。我们简要回顾一下吉布斯测度在这种情况下的正式定义[10,11]。参见[34]对这一主题的总体调查。

代数是由这样的集合生成的，这里是一个有限的集合。让。对于w上的q态反铁磁波茨模型，这个sigma代数上的概率测度称为吉布斯测度，如果对所有有限和- A - e成立

其中表示U中与和中有相邻的顶点的集合。我们注意到，这个方程右边的概率是由U诱导的有限图决定的。此外，我们注意到，对于任何一个，至少存在一个这样的吉布斯测度。

为许多州定义

这是一个长期的民间猜想(参见[7，第746页])，吉布斯测度是唯一的当且仅当(这里的不平等应该被理解为严格的如果)。我们注意到，利用众所周知的Dobrushin唯一性定理，我们得到了Gibbs测度的唯一性，参考文献[5,36]，它离推测的阈值还有一段距离。这个猜想被Jonasson证实了[24]，被Srivastava, Sinclair和Thurley[38]证实了[17];在这种情况下，可以将模型映射到铁磁模型，因为树是二部的，这更容易理解)，由Galanis, Goldberg和Yang[18]以及本论文的三位作者和[13]完成。我们的主要结果是在树的度足够大的情况下，证实了这个猜想。

主要定理

对于每一个整数，都存在这样的存在:对于每一个具有边相互作用参数w的q态反铁磁波茨模型，在无限正则树上都有一个唯一的吉布斯测度。

人们早就知道，在[30,31](参见[22])和[8,21,25,26]时存在多个吉布斯测度。我们将在引理2.2下面简要说明如何推导出这一点。因此，我们的主要结果在足够大的程度上确定了反铁磁波茨模型在无限规则树上的临界温度。为了以后的参考，我们将其称为唯一性阈值。

在下面的定理2.1中，我们将用根顶点颜色的条件分布来重新表述我们的主要定理，条件是在离根一定距离处顶点的颜色是固定的，表明当距离趋于无穷远时，这个分布收敛于均匀分布。事实上，我们证明了这种收敛对于亚临界w(即)是指数级快的。

1.1 来自计算机科学的动机

无限规则树上的相变与有界度图上二态模型(不一定是Potts模型)的配分函数的近似计算复杂度之间存在着惊人的联系。对于在唯一性区域内的参数，存在一种有效的算法来完成该任务[27,38,39]，而对于在无限规则树上存在多个Gibbs测度的参数，问题是NP-hard[23,37]。据推测，类似的现象适用于更多的状态。

虽然q态模型的情况还远不清楚，但反铁磁波茨模型在这个问题上已经取得了一些进展。在硬度方面，Galanis， Štefankvovič和Vigoda[22]表明，对于偶数和任何整数，近似Potts模型Z(G;q, w)对于任何最大度的图族都是NP-hard，我们现在知道这是唯一性阈值(对于足够大的)。另一方面，对于是否存在有效的近似Z(G;Q, w)或从有界度图类的测度中抽样，当。在[6]中隐含了一种求解该问题的高效算法，在[28]中改进为。

对于足够大程度的随机正则图，我们的主要结果暗示了一种有效的随机算法，可以通过Blanca, Galanis, Goldberg， Štefankovič， Vigoda和Yang[7，定理2.7]的结果近似于任何Gibbs测度的样本。参见[12]了解最近的改进。在[14]中，Efthymiou对Erdős-Rényi随机图证明了类似的结果，但没有假设等于树上的唯一性阈值。这至少说明了无限正则树上的唯一性阈值在研究有界度图上Potts模型的配分函数逼近和采样的复杂性方面起着重要的作用。

1.2 方法

我们证明主要定理的方法是基于[13]对这些情况的方法。众所周知，为了证明唯一性，足以证明对于给定的根顶点，比如v, v得到一种颜色的概率，以距离v n处的顶点得到一种固定的颜色为条件，收敛于1/q，不管距离n处的顶点的固定颜色是什么。我们不是看这些概率，而是看这些概率的比值。它足以证明这些收敛于1。根顶点v处的比值可以表示为v的邻点比值的有理函数，参见下面的引理2.2。这个函数很难直接分析，正如在[13]中一样，我们分析了一个更简单的函数，并结合了几何方法。我们的方法的一个关键的新成分是取极限，树的程度，到无穷，并分析得到的函数。这个函数更简单，在几何意义上表现得更好。通过一些工作，我们将极限情况的结果转化为有限情况，从而得到足够大的结果。这是受到最近一篇论文[4]的启发，该论文使用该思想对大次有界度图的独立多项式的零点位置进行了精确描述。

1.3 组织

在下一节中，我们将对我们的方法进行更技术性的概述。特别地，我们回顾一下[13]中的一些结果，我们将使用并建立一些术语。我们还收集了两个结果，将用于证明我们的主要定理，将这些结果的证明分别留给第3节和第4节。假设这些结果，主要定理将在第2.4节中得到证明。

目录

摘要 1 介绍 2 初步，设置和校样大纲 3.有限公司 的正向像的维数 \ (P_c \) 4 的正变性 \ (P_c \)在两次迭代中 5 有限公司 ncluding讲话 笔记 参考文献 致谢 作者信息 引理4.4的补充Mathematica代码 搜索 导航 #####

2 初步，设置和校样大纲

2.1 主要结果的重新表述

我们将在这里重新表述我们的主要定理根据根顶点颜色的条件分布在离根一定距离的顶点的固定颜色的条件下。

设为整数。在接下来的内容中，这样写会比较方便。对于正整数n，我们用固定根顶点r得到的有限树来表示，删除距离根顶点大于n的所有顶点，删除r的一个邻居，并保留包含r的连通分量。我们表示由的叶的集合，除了当，在这种情况下，我们让。对于正整数q，我们称其为层n的边界条件。

下面的定理可以看作是我们主要结果的一个更精确的形式。

定理2.1

取一个正整数。存在对所有整数都适用的和的常量，并且对任何整数都适用下列所有常量:

（2）

对于任意n层边界条件和边缘相互作用，

（3）

备注1

事实上，我们可以通过两种方式加强(3)。首先，对于任意，存在一个常数使得(3)的右边可以被。其次，对于任何一个固定值，存在一个常数，使得(3)的右边可以用。

众所周知(参见[13，引理1.3])。定理2.1直接暗示了我们的主要定理。因此，本文的剩余部分将用于证明定理2.1。

现在我们概述一下我们是如何做到这一点的。

2.2 对数概率比

定理2.1是用一定的条件概率来表述的。为了我们的目的，把它重新表述成这些概率的对数比是很方便的。为了介绍这些，我们回顾[13]中的一些相关定义。我们自始至终固定一个整数。

给定一个(有限)图和一个顶点子集，我们称之为g上的边界条件，我们说U上的顶点是固定的，而g上的顶点是自由的。限定的配分函数定义为

我们只写Z(G) if和q (w)从上下文中就很清楚了。给定一个边界条件，一个自由顶点和一个状态，我们将其定义为唯一的边界条件，将i扩展并关联到v。当U和从上下文中清楚时，我们将表示为。设一个边界条件，一个自由顶点。对于任意，我们定义对数比为

式中为自然对数。注意这一点。我们还注意到，它可以被解释为根得到颜色i的概率之比的对数。q)以U被着色的事件为条件。

对于树，根顶点的对数比可以从其邻居的对数比递归地计算出来。为了简洁地描述这一点，我们引入了一些将在整篇论文中广泛使用的符号。修一修，放一放。定义as的映射

（4）

和

（5）

定义其坐标函数由给出的映射，并类似地定义。为了不使用符号，我们写and。我们也定义和。我们注意到，当将d视为变量时，和在0附近的1/d是解析的。现在我们将使用映射给出对数比的树递归的简洁描述。

引理2.2

假设是一棵树，有一个边界条件。设v是一个有邻接度的自由顶点。表示为包含的连接组件的树。以自然的方式限制每一种。写出log-ratio。对于这样的，

（6）

凸面:地图图像的凸面组合

证明

通过关注左边的第j项并进行替换，我们看到(6)是从众所周知的比率递归中得出的

（7）

参见[13]对此的证明。

我们注意到，如果树的叶子上的边界条件是恒定的，那么根上的对数比可以通过迭代由at给出的单变量函数f得到。这个点是f的一个不动点;它满足当且仅当。由此不难得出，当。时存在多个吉布斯测度。

表示0向量。(在整个过程中，我们将用黑体字表示向量。)我们定义对于任意可能的对数比向量的集合

这里的比率取决于，但这在符号中不可见。下面的引理展示了如何使用引理2.2中的递归。

引理2.3

设和为整数。如果存在一个具有以下性质的凸子集序列:

1. 1.

   ，

2. 2.

   对于每一个，

3. 3.

   每一个人都有这样一个人，

然后

（8）

证明

这个证明是直接的，类似于[13]中引理2.3的证明，因此我们省略了它。

我们注意到引理只对。从一定的单调性推导出一个类似的命题，并被一个更精确的N对的依赖所取代，这将在下面的定理2.1的证明中解释。

在下一节中，我们将构造一组凸集，使我们能够形成具有引理所要求的性质的序列。

2.3 有限公司合适公司的建设nvex集

我们需要标准的-单纯形，表示为

对称群通过对向量的项进行排列而起作用。考虑由}张成的子空间，其中表示中的第i个标准基向量。这就引出了on的线性作用，也称为标准的表示，用for和表示。下面的引理表明，映射对任何都是-等变的，主要是因为动作排列了Potts模型的q种颜色，没有一种颜色起特殊作用。

引理2.4

对于任意，任意，任意，任意d

证明

这与文献[13]中的3.1节所述一致。

为半空间定义

（9）

定义集合

（10）

注意，对于每个集合都等于凸多面体

表示。然后我们有

（11）

我们称之为on作用的基本域。

以下两个命题反映了该地图的以下应用。

命题2.5

设为整数。那么存在这样的条件，即对所有和都是凸的。

命题2.6

设为整数。存在这样的情况，对下列所有情况都成立:对任何情况都存在这样的情况

对于我们为什么需要和不能直接处理的一个直观的解释是at的导数等于，这反映了我们正在处理一个反铁磁模型的事实，而at的导数等于。

我们把上面两个结果的证明推迟到后面的章节。在这两种证明中，一个关键的因素是分析极限。我们首先利用这两个命题给出定理2.1的证明。

2.4 定理的证明2.1

固定一个整数。分别取命题2.5和2.6中的常数。让大到足以在下面确定。请注意，深度0处的对数比的形式为和，其中表示全为1的向量。这是因为0级的概率要么为1，要么为0，所以比率是或的形式。这意味着深度1的对数比是和So的凸组合，并且它们肯定包含在其中。

我们从(2)的证明开始，构造一个递减序列，令。对于偶，我们设，它是凸的，根据命题2.5。根据命题2.6，我们可以设定和选择，所以。选择这样一个越小越好。我们说这个序列收敛于0。假设不是，那么它一定有一个极限。选择这样的当n足够大时，我们必须有，与选择相反。

由于收敛于0，则该序列收敛于。根据引理2.3，这意味着(2)。

为了证明第二部分，让。考虑递减序列。设置和。我们使用以下观察结果。

引理2.7

对于任意，任意，任意整数d存在这样的条件。此外,。

证明

当把和d看作变量时，只取决于比值。因此引理的第一个命题成立，由Since定义，第二个命题也成立。

上面的引理表明，and因此对每一个都是凸的

根据对数的基本性质，(3)可以很快地推导出来。这就完成了定理2.1的证明。

注1中提到的强化可以由at的导数等于这一事实推导出来。注意，对于所有和d。因此，在一个足够小的开放球B上，导数的算子范数可以为所有(并且为固定)。然后对于任意整数，(分别)。因为足够大的是包含在这个球b中，然后我们分别设置。评论中的陈述现在很快跟上。

2.5 极限图

如上所述，我们的方法中的一个重要工具是分析映射为:既然是有界的，那么可以得出，一致收敛于极限映射

（12）

用坐标函数

（13）

我们写出分数阶线性映射的第i个坐标函数。注意这一点。

根据引理2.4，对于任意，任意，任意d。由于on的作用不依赖于d，我们立即看到如下。

在接下来的两节中，我们将证明命题2.5和2.6。我们的想法是，首先为地图证明这些命题的一个变体，然后统一地用它来最终证明实际的陈述。在第3节中使用的描述为半空间的交点，在第4节中使用的描述为半空间的并集。

3.有限公司的正向像的维数

本节专门用于证明命题2.5。

固定一个整数。因为我们将半空间定义为式(9)。我们用仿射空间表示它是的边界。

在接下来的内容中，我们将经常使用映射是分数阶线性变换，因此保留线，从而将凸集映射到凸集，参见例[9，第2.3节]。

引理3.1

因此，对于所有的集合都是严格凸的

是严格凸的。

证明

因为它是一个分数阶线性变换，所以它保留凸集。因此足以证明它是严格凸的。

为此，取任意的，让。我们需要证明这一点。根据对数的严格凹性

我们得出它是严格凸的结论。

在接下来的内容中，我们需要求出at的切空间与空间之间的夹角。这个角被定义为切空间的法向量指向的内部和向量(法向量)的夹角。

引理3.2

对于任意和任意，at和的切空间之间的夹角严格小于。

证明

我们将首先证明切空间不能正交于。

映射是可逆的(当限制为时)，其坐标函数由

定义…那么under的像包含在超曲面中因此at的切空间的法向量由函数g的梯度给出，因此为了证明这个切空间不正交，我们需要证明

（14）

我们有

因为对于每一个k，最终和中的所有项都是非零的并且符号相同。这证明了(14)。

因为at和的切空间之间的夹角连续依赖于这个角应该总是小于或大于。因为根据前面的引理，这个集合是凸的，所以它是前者。

接下来我们继续讨论有限的情况。我们需要下面的定义。函数的下位曲线是一个区域。下面我们将考虑一个包含的超曲面，我们将其视为包含域的函数的图。在这种情况下，这样一个函数的形曲线又被包含在，但“正y轴”指向的方向，从。

描述引理3.3中的情况，for和。在引理3.3的证明中所定义的函数的定义域是通过选择来确定的

引理3.3

存在这样的条件，即对于所有和集合都包含在一个凹函数的形图中，其凸紧定义域在。

证明

我们首先证明，对于任意和存在这样的开放邻域，对任意都成立:

（15）

我们表示。注意，根据前面的引理我们知道at的切空间不正交于实际上它的夹角小于。假设它有一个角度。由于是解析的，所以存在一个开邻域，使得at与的切空间之间的夹角最大为。显然，包含证明式(15)的一个开放邻域。

然后固定和写出隐函数定理，(15)现在表明，对于每一个和任何，局部的at，是一个解析函数在包含于的开域上的图。这里我们用的是可逆和解析逆。通过选择足够小的Y和C，我们可以通过连续性假设我们有一个公共开域，对于所有的和，我们可以进一步假设这些函数都定义在闭包上。

接下来，假设邻域选择得足够小，对于每个和，

（16）

为了证明这一点，我们注意到根据前面的引理我们知道它是严格凸的。因此on的HessianFootnote 3是负定的，说它的最大特征值是。与前面类似，存在一个开放邻域，其形式使得对于每个和，函数都有一个负确定的Hessian，其最大特征值最多为每个(通过闭包的紧性)。我们现在想要将所有这些函数拼接成一个紧凸域上的全局函数。我们首先收集一些属性，这些属性将允许我们定义定义域。

首先要注意的是，通过紧性，存在这样的存在:对于每一个(其中包含是严格的)。我们现在固定这样一个a的值，因为它是-等变的，我们知道对于某些。我们现在选择足够小的，以便下面两个包含适用于所有和

(17) (18)

式中为空间上的正交投影。第一个包含成立，因为它一致收敛于。对于第二个包含，请注意

因为是紧凑的，所以所期望的结论是一致的。

现在让我们考虑一下投影

见图1。因为根据引理3.1它是凸的并且是紧的，所以它是紧的并且是凸的。此外，我们声称

（19）

实际上，它是映射下紧集的连续像

定义为

By(18)包含在所有和中。由此可见，这些集合，其中的范围反复出现，形成了一个开放的覆盖。由于后一个集合被(19)紧化，我们可以取一个有限子覆盖。因此，对于每一个和每一个，我们都在这有限多个域的并上得到一个唯一的全局函数，由式(16)可知，该函数具有严格负定的Hessian。通过构造，这些域的联合包含每个域。因此，被限制为，是每个和的凹函数。由(17)可知，它包含在的形像中，如所愿。

现在我们终于可以证明命题2.5了，为了方便起见，我们在这里重申一下。

命题2.5

设为整数。那么存在这样的条件，即对所有和都是凸的。

证明

由前面的引理我们得出，当d大于时，包含在函数的形图中，用和表示，并且这个形图是凸的，因为函数在凸域上是凹的。

因为在-作用下是不变的，因此

因此根据引理2.4，

（20）

现在我们认为(20)的最后包含实际上是一种相等。要看其他的包含，拿一些。根据对称性，我们可以假设它包含在。那么对于某些来说等于，这意味着它确实包含在。

这就意味着凸集等于凸集的交集

4 的前向不变性

本节专门用于证明命题2.6。我们从这个命题的一个版本开始，然后考虑有限d。

4.1 的两次迭代

让它定义为

它的“限制”为半线，由

我们用什么来表示标准内积

本小节致力于证明以下结果。

命题4.1

对于我们所有的

通过定义，(11)，以及映射的-等方差，因此映射的-等方差，足以证明用。这可以从以下两个陈述中得出:

1. (i)

   对于任何点，on的最小值在。

2. (2)

   对于我们所拥有的一切。

事实上，这些陈述暗示，对于任何我们都有。显然这是充分的，因为和因此

接下来我们证明两个表述，从第一个开始。

以下4.4.1语句(我)

命题4.2

让。然后我们有这个

此外，平等只发生在。

在给出证明之前，让我们确定一些进一步的符号。根据定义，我们有

我们回忆一下，它表示的是的JTH坐标函数。的梯度的第i个坐标由

让我们为as定义以下函数

我们写的地方

然后我们看到

当且仅当。

命题证明4.2

首先观察到函数在坐标的置换下是不变的。因此我们可以假设

并不是所有的坐标都相等。现在足以证明存在一个向量使得函数的方向(严格地)递减，对于一些小的。让

它是有限的，因为不是所有的坐标都相等。我们声称它满足期望的条件。显然，对于t足够小，它垂直于和。现在我们来计算导数

使用上面定义的符号，我们得到

在哪里和。特别是,

为了得出结论并完成证明，我们需要证明它

（21）

引理4.3表明我们可以假设满足。下面的引理4.4表明，对于这些向量(21)确实成立。因此，结合下面的引理4.3和引理4.4，我们得到(21)并完成证明。

引理4.3

如果对某些人来说，那么

其中定义为

对。

证明

通过连续性，它足以表明

（22）

其中定义为

For和any

因为我们定义为

对。请注意。我们进一步定义

经过简单的计算，我们可以表示为

我们为什么地方写，什么时候写。这个符号表示它是t的常数函数。现在观察最后一行出现的函数，

是凸的，因为它的二阶导数是

我们得到g(t)在t点有一个唯一的极小值，使得。换句话说，

是g(t)在这个区间上的唯一最小值。这意味着(22)，因此引理。

引理4.4

让和。然后

证明

在这个证明中所做的代数操作，虽然是初等的，但涉及到相当大的表达式。因此，我们在附录A中提供了额外的Mathematica代码，可用于验证计算。我们定义

在哪里

(请参见清单1)。可以对此进行检查

我们把t当作一个变量，在保持指数中出现的值不变的情况下改变它。为了达到这个效果，让并定义

这些值的选择使得我们有并且独立于t(参见清单2和3)。因此是t的有理函数，我们想要证明它是正的。我们可以显式地计算出来

其中r是一个线性函数(见清单4)。我们要证明r的斜率是正的。我们发现它等于

在哪里

这是清单5输出的一部分。注意，通过构造，因为，我们有因此和的系数之和满足

现在我们将根据系数的符号来区分两种情况。如果是非负的，则

如果是负的，那么

尤其是。因此

r的斜率由

这是清单5输出的一部分。为了证明这是正的，我们证明这是正的。因为和都是正的

这是正的，因为。证明到此结束。

我们现在继续第二种说法。

4.1.2 声明(2)

命题4.5

我们有这个

证明

这个语句等价于

对。根据定义，我们知道

在哪里

首先请注意。这意味着如果语句成立。因此我们可以假设。不等式可以写成

因为。对两边取对数，就等于

因为，我们可以用不等式。因此，为了说明，证明这一点就足够了

或者,同样

这源于一个凸函数，它的导数满足和。证明到此结束。

4.2 的两次迭代

和之前一样，我们把它看作一个连续变量。让我们定义为

请注意，该映射在其所有变量中都是解析的。为了简单起见，如果是固定的，那么我们使用For, if, then的符号。

引理4.6

存在正常数和，使得对于任何已知的

证明

根据定义，我们知道

在哪里

让我们计算f(x)和g(x)在0附近的泰勒展开式:

因此它们的组成在0附近有如下泰勒展开式:

这意味着存在并且，对于任何我们有

根据需要。

下一个命题意味着，当c足够小，d足够大时，下的正向不变性。

命题4.7

存在和。对于所有和整数存在这样的条件

证明

根据前面的引理，我们知道存在a和an，使得对于任何已知的

这里我们用，根据命题4.2的标准二范数来表示，对于任何，我们都包含在。因此，用半径为r，绕y旋转的球表示，

（23）

现在考虑at的泰勒近似。因为对于任意映射都有一个不动的导数点，所以存在一些常数，使得对于任意映射，我们有

其中是at的三阶泰勒近似。注意二阶项等于0因为at的导数等于。特别地，对于一些多线性映射，并随着映射均匀地收敛到。具体来说，对于任何

对于某个函数，满足。

把这些放在一起，利用三角不等式，我们可以得到任意和任意的结果

对于某个常数(使用2-范数和1-范数是等价的)现在让我们把足够小的东西固定下来然后把一个这样的东西固定下来。

然后到(23)，对于任意，和，

所以我们可以取。

4.3 命题2.6的证明

现在我们准备证明第2.6号提案，为了方便起见，我们在这里重申一下。

命题2.6

设为整数。存在这样的条件，对于所有整数都成立:对于任意整数，存在这样的条件

证明

根据命题4.7，我们知道有一个和一个这样的东西，并且存在这样的东西。根据引理2.4，我们可以看到。

接下来我们考虑。根据命题4.1，我们知道。当收敛到一致时，我们看到每一个都有一个足够大的，使得我们都足够接近。由的紧性，我们得到，对于任意和任意存在这样的点。命题之后是取。

5 有限公司ncluding讲话

虽然我们只证明了无限正则树在足够大的d度下Gibbs测度的唯一性，但我们的方法可以被推广到更小的d值上。在计算机的帮助下，我们成功地检查了和和所有映射映射到，哪里是对直线的限制。我们似乎可以合理地期望，对于其他较小的q值，也可以证明类似的命题。到目前为止，一个通用的方法是难以捉摸的。而且也不清楚是凸的，甚至不为。事实上，for和c足够大不是凸的。但是对于合理的c值，它确实看起来是凸的。对于较大的q值，这就更不清楚了。

知道无限规则树上存在唯一的吉布斯测度本身不足以设计有效的算法来从所有有界度图上的相关分布近似计算配分函数/样本。我们需要更强的相关性衰减概念，通常称为强空间混合[19,20,29,39]，或者配分函数在实区间[w, 1][1,6,28,33]附近不存在复零。目前尚不清楚我们目前的方法是否能够证明这样的陈述(这些陈述当然不会自动遵循)，但我们希望它可以作为确定强空间混合和没有复零的阈值的基石。我们注意到，即使在这种情况下，对应于适当的着色，在无限树上的强空间混合的已知界[15]仍然远离唯一性阈值。最近(在当前文章发布到arXiv之后)，这些界限已经得到了显着改善[12]。

下载原文档：https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s10955-023-03145-z.pdf